判斷一個點是否在多邊形內部 [1] 射線法思路

原文出處： http://www.html-js.com/article/1517

前言：本文源於前幾天看到的一條微博 http://weibo.com/1057676857/Adpfwwfsv

對於 po 主的言論我並不贊同。我是學化學的，沒有學過電腦專業的課程，但憑直覺我認為這應該也是電腦圖形學裡面比較常見的一類問題。並且我認為這並不需要多麼高端的電腦專業知識，只要中學數學沒有全還給老師，就應該能給出至少一種解法。下面就試著解一下這個題吧。

比如說，我就隨便塗了一個多邊形和一個點，現在我要給出一種通用的方法來判斷這個點是不是在多邊形內部（別告訴我用肉眼觀察……）。

首先想到的一個解法是從這個點做一條射線，計算它跟多邊形邊界的交點個數，如果交點個數為奇數，那麼點在多邊形內部，否則點在多邊形外。

這個結論很簡單，那它是怎麼來的。下面就簡單講解一下。

首先，對於平面內任意閉合曲線，我們都可以直觀地認為，曲線把平面分割成了內、外兩部分，其中“內”就是我們所謂的多邊形地區。

基於這一認識，對於平面內任意一條直線，我們可以得出下面這些結論： 直線穿越多邊形邊界時，有且只有兩種情況：進入多邊形或穿出多邊形。 在不考慮非歐空間的情況下，直線不可能從內部再次進入多邊形，或從外部再次穿出多邊形，即連續兩次穿越邊界的情況必然成對。 直線可以無限延伸，而閉合曲線包圍的地區是有限的，因此最後一次穿越多邊形邊界，一定是穿出多邊形，到達外部。

現在回到我們最初的題目。假如我們從一個給定的點做射線，還可以得出下面兩條結論： 如果點在多邊形內部，射線第一次穿越邊界一定是穿出多邊形。 如果點在多邊形外部，射線第一次穿越邊界一定是進入多邊形。

把上面這些結論綜合起來，我們可以歸納出： 當射線穿越多邊形邊界的次數為偶數時，所有第偶數次（包括最後一次）穿越都是穿出，因此所有第奇數次（包括第一次）穿越為穿入，由此可推斷點在多邊形外部。 當射線穿越多邊形邊界的次數為奇數時，所有第奇數次（包括第一次和最後一次）穿越都是穿出，由此可推斷點在多邊形內部。

到這裡，我們已經瞭解了這個解法的思路，大家可以試著自己寫一個實現出來。關於演算法實現中某些具體問題和邊界條件的處理，下次接著寫，這次畫圖已經畫夠了……

後記：給出這個解法後，我簡單搜了一下，原來這種演算法就叫做射線法（ray casting）或者奇偶規則法（even odd rule），是一種早已被廣泛應用的演算法。後面還打算介紹另一種通過迴轉數（winding number，拓撲學的一個概念）解這個問題的思路。

– P.S. –

本系列共三篇： 射線法思路 射線法實現 迴轉數法

– 完 –

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