數字語音訊號處理學習筆記——語音訊號的同態處理（2）

標籤：語音訊號處理

5.4 複倒譜和倒譜

定義

      設訊號x(n)的z變換為X(z) = z[x(n)]，其對數為：

      (1)

 那麼的逆z變換可寫成：

       (2)

取(1)式則有

       (3)

於是式子(2)則可以寫成

      (4)

則式子(4)即為訊號x(n)的複倒譜的定義。因為一般為複數，故稱為複倒譜。如果對的絕對值取對數，得

(5)

則為實數，由此求出的倒頻譜c(n)為實倒譜，簡稱為倒譜，即

(6)

在(3)式中，實部是可以取唯一值的，但對於虛部，會引起唯一性問題，因此要求相角為w的連續奇函數。

性質：

為判斷複倒譜的性質，研究有理z變換的一般形式即可。z變換的一般形式為

其中，的絕對值皆小於1，A是一個非負數係數。因此，和項對應於單位圓內的零點和極點，和項對應於單位圓外的零點和極點，Mi和M0分別表示單位圓內和外的零點數目，Ni和N0分別表示單位圓內和外的極點數目，因子簡單地表示時間原點的移動。於是，X(z)的複對數為：

在討論複倒譜的性質時可以寫為以下形式：

性質1：即使x(n)可以滿足因果性、穩定性、甚至持續期有限的條件，一般而言複倒譜也是非零的，而且在正負n兩個方向上都是無限延展的。

性質2：複倒譜是一個有界衰減序列，其界限為：

其中，a是的最大絕對值，而是一個常數。

性質3：如果X(z)在單位圓外無極點和零點（即），則有

這種訊號稱為“最小相位”訊號。

性質4：對於X(z)在單位圓內沒有極點或零點的情形，可以得到“最大相位”訊號，有

性質5：如果輸入訊號為一串衝激訊號，它具有如下形式：

這就意味著其也是一個間隔為Np的衝激串。