數字三角形問題 (動態規劃初步)

問題描述：

有一個由非負整數組成的三角形，第一行只有一個數，除了最下行之外每個數的左下方和右下方各有一個數。

   從第一行的數開始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途經過的數全部加起來。如何走才能使得這個和盡量大。

如下圖：

             1

          3   2

       4  10  1

    4   3   2   20

思考：把當前的位置（i，j)看成一個狀態，然後定義狀態（i,j）的指示函數d(i,j)為從格子(i,j)出發時能得到的最大和(包括格子(i,j)本身的值）。在這個狀態定義下，原問題的解釋d(1,1)。

狀態狀態轉移：從格子(i,j)出發有兩種決策。如果往左走，則走到(i+1,j)後需要求”從(i+1,j)出發後能得到的最大和”這一問題，即d(i+1,j)。類似的，往右走之後需要求解d(i+1,j+1)。

所以狀態轉移方程就是d(i,j)=max{d(i+1,j)，d(i+1,j+1)}+a(i,j);

方法一：遞推計算 （時間複雜度為O(n^2))

int i,j;for(i=1; i<=n; ++i)//下標從1開始 d[n][i]=a[n][i];for(i=n-1; i>=1; --i){for(j=1; j<=i; ++j)d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);}

因為i是枚舉的，因此在計算 d[i][j] 前，它所需要的d[i+1][j]和d[i+1][j+1]一定已經計算出來了

方法二：記憶化搜尋(時間複雜度O(n^2)  首先memset(d,-1,sizeof(d))  將d全部初始化為-1

int solve(int i, int j){if(d[i][j]>0)return d[i][j];return d[i][j] = a[i][j] + ( i==n ? 0 : max(solve(i+1, j), solve(i+1, j+1) ) );}

題目中各個數都是非負的，這樣只需要把d初始化為-1，即可通過判斷是否d[i][j]>=0得知它是否已經被計算過。