Dijkstra演算法(一) C語言詳解

迪傑斯特拉演算法介紹

迪傑斯特拉(Dijkstra)演算法是典型最短路徑演算法，用於計算一個節點到其他節點的最短路徑。
它的主要特點是以起始點為中心向外層層擴充(廣度優先搜尋思想)，直到擴充到終點為止。

基本思想

通過Dijkstra計算圖G中的最短路徑時，需要指定起點s(即從頂點s開始計算)。

此外，引進兩個集合S和U。S的作用是記錄已求出最短路徑的頂點(以及相應的最短路徑長度)，而U則是記錄還未求出最短路徑的頂點(以及該頂點到起點s的距離)。

初始時，S中只有起點s；U中是除s之外的頂點，並且U中頂點的路徑是"起點s到該頂點的路徑"。然後，從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；接著，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 然後，再從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；接著，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 ... 重複該操作，直到遍曆完所有頂點。

操作步驟

(1) 初始時，S只包含起點s；U包含除s外的其他頂點，且U中頂點的距離為"起點s到該頂點的距離"[例如，U中頂點v的距離為(s,v)的長度，然後s和v不相鄰，則v的距離為∞]。

(2) 從U中選出"距離最短的頂點k"，並將頂點k加入到S中；同時，從U中移除頂點k。

(3) 更新U中各個頂點到起點s的距離。之所以更新U中頂點的距離，是由於上一步中確定了k是求出最短路徑的頂點，從而可以利用k來更新其它頂點的距離；例如，(s,v)的距離可能大於(s,k)+(k,v)的距離。

(4) 重複步驟(2)和(3)，直到遍曆完所有頂點。

單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面通過執行個體來對該演算法進行說明。

迪傑斯特拉演算法圖解

以上圖G4為例，來對迪傑斯特拉進行演算法示範(以第4個頂點D為起點)。

初始狀態：S是已計算出最短路徑的頂點集合，U是未計算除最短路徑的頂點的集合！
第1步：將頂點D加入到S中。

此時，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。      注:C(3)表示C到起點D的距離是3。

第2步：將頂點C加入到S中。

上一步操作之後，U中頂點C到起點D的距離最短；因此，將C加入到S中，同時更新U中頂點的距離。以頂點F為例，之前F到D的距離為∞；但是將C加入到S之後，F到D的距離為9=(F,C)+(C,D)。

此時，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步：將頂點E加入到S中。

上一步操作之後，U中頂點E到起點D的距離最短；因此，將E加入到S中，同時更新U中頂點的距離。還是以頂點F為例，之前F到D的距離為9；但是將E加入到S之後，F到D的距離為6=(F,E)+(E,D)。

此時，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。

第4步：將頂點F加入到S中。

此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：將頂點G加入到S中。

此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步：將頂點B加入到S中。

此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步：將頂點A加入到S中。

此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此時，起點D到各個頂點的最短距離就計算出來了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

迪傑斯特拉演算法的代碼說明

以"鄰接矩陣"為例對迪傑斯特拉演算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在後面會給出相應的源碼。

1. 基本定義

// 鄰接矩陣typedef struct _graph{    char vexs[MAX];       // 頂點集合    int vexnum;           // 頂點數    int edgnum;           // 邊數    int matrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣}Graph, *PGraph;    // 邊的結構體typedef struct _EdgeData{    char start; // 邊的起點    char end;   // 邊的終點    int weight; // 邊的權重}EData;

Graph是鄰接矩陣對應的結構體。
vexs用於儲存頂點，vexnum是頂點數，edgnum是邊數；matrix則是用於儲存矩陣資訊的二維數組。例如，matrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即vexs[i])"和"頂點j(即vexs[j])"是鄰接點；matrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。
EData是鄰接矩陣邊對應的結構體。

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