論述數學教育

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這學期（本文發表於2011年/編輯注）我一直在教一門課，微積分 II。對象是非數學物理專業的大學生，大多數來自於 business / liberal art / economics 等專業。難度大致相當於國內的高數 B 或 C。所使用的教材是全美國都在廣泛使用的 Stewart Calculus。

我目前所在的這所大學位於美國中部，這裡畢業的學生一般都會進入白領階層，但是很難有機會成為美國最出色的精英。也就是說，他們基本上是美國中產階級的典型代表。

讓我開宗明義地說：為什麼說科學在美國衰敗？從我的課堂就能看得出來。一個典型的未來美國中產階級學生，在他的大學科學課程裡基本上什麼也學不到。等他成為社會的棟樑之後，如何可能瞭解科學和尊重科學？

這當然可能是一管窺豹，因為我畢竟沒有旁聽過別的科學門類的大學課程。但是連微積分這種所有理科學科都會賴以為基礎的課程尚且如此，其餘的情況似乎也可以想象。

為什麼他們的微積分會學得這麼糟糕呢？讓我來舉幾個例子。

我接手這門課程之後的第一部分內容是積分技巧。大部分時間，學生們都在練習這樣的題目：

計算下述不定積分：

然後是微分方程。在介紹完基本定義之後，學生們在考試裡會遇到的是這樣的題目：

試求解下列微分方程：

再然後是級數。雖然並不要求學生掌握 ε-δ 語言，但是他們要學習各種各樣的判斷級數是否收斂的定理。作業和考試都是這樣的：

判斷下列級數是否收斂：

我完全不能理解，一個非數學或物理專業的學生怎麼可能從這樣的教育中獲得一絲一毫的教益？他怎麼可能不發自內心地痛恨這門課程，然後在考完試之後的一個小時之內把所有內容忘得精光？象三角代換這類積分技巧，不要說一個普通的心理學或者經濟學專業的學生一輩子都用不到，就連我也一輩子都用不到。就算在極其罕見的情形下需要求解這類問題，也完全可以求助於 wolframalpha.com 或者類似的工具。在我看來，在二十一世紀還要求一個普通學生手算積分，就像是要求一個汽車駕校學員一定要從騎馬學起一樣。

實事求是地說，Stewart 這本教材並不壞，也儘力囊括了一些關於數學在別的領域中的應用的內容和大量頗有趣味的閱讀材料。但是問題在於，它仍然是一本基於數學家思維方式寫出來的教材，亦即在每一個課題上從最基本的定義和定理開始堆砌，直到超出教材所可能涵蓋的水平為止。例如，為什麼學生需要學習變數分離的常微分方程的解法？因為這是最容易解的（也是這個水平的學生所唯一可能學會解法的）常微分方程。也就是說，學生學習這類方程（並且要做大量練習）不是因為它對學生來說重要，而是因為它是在數學大廈裡一個學生所能爬到的最高位置，如此而已。

可是一個學生為什麼要去爬這座大廈呢？或者換句話說，數學家憑什麼要求所有普通人都按照數學家的方式來學數學呢？它除了把學生摔得鼻青臉腫之外，沒有任何用處。每個學生都不得不學會七八種判別一個級數是否收斂的技巧，但是他甚至沒有機會得到一個簡單問題的答案：「我為什麼要學習級數？」——對數學家來說這個問題沒有意義，數學家反正總是需要級數的。

但是它對別人有意義。每次當我走進課堂，開始討論第一類反常積分和第二類反常積分或者絕對收斂和相對收斂的區別，我都忍不住設想台下學生們的心情。他們會不會覺得我像是個傻瓜？反正我覺得自己很像。

我常常碰到有人認真地問：「數學到底有什麼用處？」這問題其實一點都不難回答，我可以隨口舉出無數個例子來說明為什麼社會的每個角落都須臾不可缺少最現代的數學工具，但是我明白為什麼別人會問這個問題。因為對於他們來說，數學就是他們在大學裡學過的這些習題。而這些習題對 99% 的大學生來說確實一點用都沒有，甚至連「鍛煉邏輯思維能力」這種最虛幻的用處也談不上。

如果是我來編寫大學數學教材，我會爭取讓每一個在大學裡讀過數學課的人都能回答這樣的問題：為什麼人們能精確預測幾十年後的日食，卻沒法精確預測明天的天氣；為什麼人們可以通過 https 安全地瀏覽網頁而不會被監聽；為什麼全球變暖的速度超過一個界限就變得無法復原了；為什麼把文字檔壓縮成 zip 體積會減少很多，而 mp3 檔案壓縮成 zip 大小卻幾乎不變；民生統計指標到底應該採用平均數還是中位元；當人們說兩種樂器聲音的音高相同而音色不同的時候到底是什麼意思??這不是什麼「趣味數學」，這就是數學。基礎、重要、深刻、美的數學。

在我的設想裡，這才是大學基礎數學教育所應該達成的任務。不是培養一個非數學專業的現代人在數學領域的專業素質（這是無論如何也不可能成功的），而是讓一個人能夠在非專業的前提下最大程度地掌握真正有用的現代數學知識，瞭解數學家們的工作怎樣在各個層面上和社會產生互動，以及社會在這個領域的投資得到了怎樣的回報。別的科學門類的基礎教育也應當是這樣。

更重要的是，任何一個接受過大學科學教育的人，無論他的職業是什麼，他都應當能夠明確理解下面這些事：為什麼曆史上一次又一次有過處於少數地位的業餘科學家在不被重視的情況下做出重大貢獻的案例，今天的科學界仍然在整體上排斥業餘研究者的參與，並且反對社會資源被用來鼓勵業餘研究；既然科學結論有可能並且也在事實上曾經反覆被推翻，連牛頓力學都會被愛因斯坦相對論所取代而相對論也可以繼續被修正，當代科學家做出的科學斷言到底在什麼意義上值得相信（或者是不是根本就不值得相信）；科學問題是不是和政治問題一樣，並不存在所謂正確的答案，而每種立場其實都有其存在的意義和價值；當一個科學上的專業問題同時又具有政治上的巨大影響力的時候（比如全球變暖、幹細胞研究或者轉基因作物推廣），不具有專業背景的公眾到底應該具有怎樣的發言權。讓每個現代人在大學教育中聽到科學家對這些問題的回答，應當是大學科學教育不可迴避的任務。

毫無疑問，現狀並不是這樣。

我並沒有在中國大學裡教數學基礎課的經曆，但是就我的瞭解而言，情況和美國差不多。我不止一次聽到別人向我描述高數課給他們帶來的痛苦，我能想象也能理解這種痛苦。這不是中國或者美國的問題，而是普遍存在於時代的問題。

在科學的威力史無前例地席捲全社會的今天，科學和社會的關係也史無前例地疏遠。這實在是太危險了。

 

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