散度(Divergence)和旋度(Curl)

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原文連結 散度(Divergence)

散度的討論應從向量和向量場說起。向量是數學中研究多維計算的基本概念。比如，速度可以分解為相互獨立的分量，則速度就是一個多維的向量。假如空間中的每一個位置都有一個向量屬性的話，這個空間就叫做向量場。比如，遊泳池裡的水的速度就是一個向量場。

散度就是作用在向量場上的運算元。它把向量場映射到標量場。其中某點的標量代表該點的向量是“流入”的，還是“流出”的。

比如在遊泳池中考慮一個封閉的正方體地區，在該地區的六個表面中，要麼有液體流出，要麼有液體流入。設流出為正，流入為負，把六個面的流量相加，如果為正，則代表該地區有正的散度。反之則是負的散度。這就是散度界定中“通量”的概念。

現在如果取一個任意的封閉曲面，則它的通量為曲面表面的向量場在曲面法向量上的分量的積分。假如該封閉曲面的體積無限小，則極限是曲面內某一點，這個極限通量就是散度。從這個角度說，上文的“流入”（散度小於零）表示了通量的湮滅，而“流出”（散度大於零）表示了該地區有新的通量產生。

就如之前的流體文中提到的，由於水流不會憑空產生或消失，即不可壓縮流體的總散度必為零。在流體力學中，散度指流體運動時單位體積的改變率。 

散度的數學標記法

在笛卡爾座標系Oxyz中，若向量場為(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))
則對以上三個分量分別對x, y, z求偏導數，然後把三個結果相加。

一般來說，使用div或者向下的三角形加一點來表示散度。

假如某處散度為零，則稱該處divergence free。

散度的概念來源於物理學中的靜電學。十九世紀末，英國物理學家海維賽德（Heaviside）提出既然靜電場中的電荷是電場力的原因，那麼吧電荷看作一個體積微小的一點，那麼該點的電場力“聚集度”就等於這個微小體積散發出的所有電場力的總和。他又把這種“聚集度”稱為“散度”。並且他給出了散度計算的公式。從以上可以看出，散度所考慮的對象是某一個點及其接近的很小的空間。

但是，光用散度無法完全描述電場的屬性。1873年，英國物理學家麥克斯韋在一篇論文中使用了哈密頓的四元素方法。

旋度(Curl)

還記得以前提到過的四元素嗎? 
http://blog.csdn.net/wangxiaojun911/article/details/4644243

對四元素q = i * A + j * B + k * C + D求偏導數。定義微分運算元(d/dx)i + (d/dy)j + (d/dz)k, 則對原四元素其中前三項的微分很特別。它的微分結果分為兩部分，第一部分是A, B, C分別對x, y, z的偏導，若把(A,B,C)看作向量，其結果正是負的散度。（注意i*i=-1, j*j=-1, k*k=-1）

第二部分則是被稱為“旋度”的部分。為(dC/dy-dB/dz)i+(dA/dz-dC/dx)j+(dB/dx-dA/dy)k。麥克斯韋之所以使用了旋度這個名字，是他認為這個量表示了向量場轉動傾向的屬性。

與散度在一個小位元上是標量不同，旋度運算的結果仍然是一個向量，表示了某個局部微元上的旋轉傾向。舉例來說，把北極圈看作一個極小的局部對象討論，一個沿著緯度方向的向量場會造成旋度而散度為零；沿著經度方向的向量場會造成散度而旋度為零。 

旋度的數學標記法

假如座標系和向量場如最開始定義（P，Q，R），令p()為求偏導數，散度的定義為：
(p(R)/p(y)-p(Q)/p(z),
 p(P)/p(z)-p(R)/p(x)
 p(Q)/p(x)-p(P)/p(y))

散度(Divergence)和旋度(Curl)