雙連通分量

本部落格轉載自http://blog.csdn.net/tsaid/article/details/6877404
[點連通度與邊連通度]

在一個無向連通圖中，如果有一個頂點集合，刪除這個頂點集合，以及這個集合中所有頂點相關聯的邊以後，原圖變成多個連通塊，就稱這個點集為割點集合。一個圖的點連通度的定義為，最小割點集合中的頂點數。類似的，如果有一個邊集合，刪除這個邊集合以後，原圖變成多個連通塊，就稱這個點集為割邊集合。一個圖的邊連通度的定義為，最小割邊集合中的邊數。

[雙連通圖、割點與橋]

如果一個無向連通圖的點連通度大於1，則稱該圖是點雙連通的(point biconnected)，簡稱雙連通或重連通。一個圖有割點，若且唯若這個圖的點連通度為1，則割點集合的唯一元素被稱為割點(cut point)，又叫關節點(articulation point)。如果一個無向連通圖的邊連通度大於1，則稱該圖是邊雙連通的(edge biconnected)，簡稱雙連通或重連通。一個圖有橋，若且唯若這個圖的邊連通度為1，則割邊集合的唯一元素被稱為橋(bridge)，又叫關節邊(articulation edge)。可以看出，點雙連通與邊雙連通都可以簡稱為雙連通，它們之間是有著某種聯絡的，下文中提到的雙連通，均既可指點雙連通，又可指邊雙連通。雙連通分量分兩種，一種是刪除一條邊仍然連通的，叫做邊連通分量，以橋為分割，另外一個是刪除一個點仍然連通，叫點連通分量，下面分開來講。邊雙連通分量：其實把所有的橋都找出來就可以進行劃分了，由於在計算連通分量的tarjan演算法中，如果兩個點是在同一個邊連通分量中，那麼他們的low值是一樣的，所以就可以直接通過tarjan演算法求出所有的low值，然後判斷low值是否相同就可以判斷是否在同一個邊連通分量中。點雙連通分量：在計算點連通分量的演算法中，是以割點為分界的，和邊連通分量的求法差不多，不過需要多增加一個棧來記錄經過的點，並且要注意和強連通分量所用的棧的不同，在點連通分量中，割點是可以在多個點連通分量中的，所以這裡的退棧是有一些地方。

[雙連通分支]

在圖G的所有子圖G’中，如果G’是雙連通的，則稱G’為雙連通子圖。如果一個雙連通子圖G’它不是任何一個雙連通子圖的真子集，則G’為極大雙連通子圖。雙連通分支(biconnected component)，或重連通分支，就是圖的極大雙連通子圖。特殊的，點雙連通分支又叫做塊。

[求割點與橋]

該演算法是R.Tarjan發明的。對圖深度優先搜尋，定義DFS(u)為u在搜尋樹（以下簡稱為樹）中被遍曆到的序號(等價於時間戳記)。定義Low(u)為u或u的子樹中能通過非父子邊追溯到的最早的節點，即DFS序號最小的節點的序號。根據定義，則有：

Low(u)=Min
{
DFS(u)
DFS(v) (u,v)為後向邊(返祖邊) 等價於 DFS(v)