動態規劃解背包問題/C++/Knapsack problem

前言

背包問題是一個經典的演算法問題，可以用動態規劃，貪進法，分支界限法等方法解決

問題描述：有n個物品，編號1,2,3，、、n，其中第 i 個物品重量為Wi 價值 Vi ，有一個容量為W的背包。

在容量允許範圍內，如何選擇物品，可以得到最大的價值。（為了簡單起見，假設物品的重量 Wi 和價值Vi 都是正數）

 

根據取物品的方式，背包問題又可以被分為三類：

0/1背包問題(0-1 knapsack problem)

這也是最常見的背包問題，對於每個物品，要麼取走要麼不取走，每個物品只能取一次。

可以用數學運算式表示為：

• maximize   
• subject to  

其中xi只能為1 或者0  所以稱為背包問題

有界限的背包問題(bounded knapsack problem)

對應於上文，每個物品最多可以取Gi次.也可以不取。用數學運算式描述為：

• maximize 
• subject to 

 

注意看xi取值範圍。其中的“界限”說的是取的次數上限

無界限背包( unbounded knapsack problem (UKP))

相應的，無界限背包說的就是每個物品取的次數無限了，也就是上文中的xi 可以為任意的正整數。

 

今天主要說的是0、1背包問題，解法是動態規劃。當然，對於另外兩種問題也會有所介紹。

問題分析：

用動態規劃解問題首先要有效找出子問題，可以通過這個子問題得推得原問題的解，通常子問題的實質是和原問題相同的，只是規模上的縮小，

也就是說子問題和原問題可以有相同的表示形式，問題可通過不斷的縮小規模（一般都會有一個界限）能找到子問題的解。

這個問題要求解的是能用背包帶走的物品的最大價值。定義 m[i,w] 為：

用第1,、2、3、、i 個物品裝入品質<=W的背包的最大價值。

m[i,w]的取值情況分析：

1）  ，背包的品質為w，裡面沒有物品，所以它的價值為0；

2）   ，背包品質為0，所以裡面沒法裝任何東西， 不論前面的 i 是多少，總價值為0；

對於任意的第 i  個物品，有兩種情況，放進背包或者不放。

不要第 i  個物品 如果 則：

3）    因為第i 個物品的重量大於背包的容量，所以不可放入。

如果. 那麼

4）  

對於第 i 個物品，有兩種可選擇方案：如果放入背包中，那麼 m[i,w]=m[i-1,w-wi]+vi　也就是 i 的前一個的最大值加上自己的價值。

如果不要第 i 個物品，那麼：m[i,w]=m[i-1,w]。也就是 i 的前一個的最大值。

因為背包問題最後要取得最大的價值，所以就選這兩種情況中價值最大的。

 

在這個問題中，定義子問題： m[i,w] 對於每個子問題，都可通過上面的分析求出。通過3），4）可以發現，每一次求取子問題，問題的規模就被縮小。

要麼在w 上減小，要麼在 i 上減小。最後問題的規模會被縮小為 m[i,0]和m[0,w].而這兩個的值都為0，只要逆向思維反推回去，就能逐步得到問題的解。

演算法描述

 

 

 

附c++代碼：

 c-free 5編譯通過

View Code

/*0、1背包問題
一條魚@部落格園 
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2011-12-25 
*/


#include <iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<vector>

//儲存元素的結構 
typedef struct item
{
int weight;
int values;
}item;



using namespace std;
int main()
{
int weight=10;
int itemnum=4;
//int k[10][4];
    

    vector<vector<int> > k(11,vector<int>(5));
    item items[4]={{6,30},{3,14},{4,16},{2,9}};


for(int w=0;w<=weight;w++)
    {
for(int j=0;j<=itemnum;j++)
        {
            k[w][j]=0;    
        }

    }

//輸出數組    
    for(int i=0;i<=weight;i++)
    {
for(int j=0;j<=itemnum;j++)
        {
            cout<<k[i][j];
        }
        cout<<"\n";
    }


for(int w=1;w<=weight;w++)
    {
        cout<<"測試\n";  
for(int j=1;j<=itemnum;j++)
        {
if(items[j-1].weight>w)        //物品品質大於背包容量，捨去 
            {
                k[w][j]=k[w][j-1];
            }
else        //對於兩種情況選出較大值 
            {
                k[w][j]=max(k[w][j-1],(k[w-items[j-1].weight][j-1]+items[j-1].values));
            }
            cout<<"k["<<w<<"]["<<j<<"]="<<k[w][j]<<"\n";

        }

    }

    cout<<"輸出哦了"<<k[weight][itemnum]<<"\n";

for(int i=0;i<=weight;i++)
    {
for(int j=0;j<=itemnum;j++)
        {
            cout<<k[i][j]<<" ";
        }
        cout<<"\n";
    }

}

 

動態規劃簡單介紹：

動態規劃通常用於最佳化問題，此類問題可能有很多可行解，每一個解有一個值，而我們希望找出一個具有最優值的解，

動態規划算法設計可分為如下步驟：

1）描述最優解的結構

2）遞迴定義最優解的值

3）按底向上的方式計算最優解的值

4）由計算出的結果構造一個最優解

動態規劃的第一步是描述最優解的結構，如果問題的一個最優解中包含了子問題的最優解，該問題具有最優解結構。當一個子問題

有最優解結構時，提示我們動態規劃適用。如本例中的m[i,w]就是一個子問題，裡麵包含了另一個子問題的最優解：

m[i-1,w],m[i-1,w-1]。解題的過程中把結果記錄在數組中，後面的解更具前面的解得出，最後找到問題的解。

 

參考資料： 

http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

http://www.es.ele.tue.nl/education/5MC10/Solutions/knapsack.pdf

《演算法導論》

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一條魚@部落格園

2011-12-25