動態規劃，Dijkstra演算法，A*演算法的比較

 

動態規劃，Dijkstra演算法，A*演算法的架構是相同的，不同點僅在於“推進點的選取”和“演算法終止條件”。
一，動態規劃：（參見http://blog.csdn.net/iwantnon/archive/2009/07/07/4329269.aspx
）
推進點選取：
（1），在粗獷的動態規划算法中：
根本不進行選擇，而是對所有已存在節點全部推進一遍。這可能造成如下兩點浪費：
[1]，重複推進：對某點v已經作了推進，而下一次在其valu值沒有發生更改的情況下又一次對它進行推進，顯然這第二次推進得不到任何新東西，所以是白費的。
[2]，推進失效：對某點v作了推進以後，又對點u作推進，而u恰好將點v的valu值重新整理，於是當初對點v所作的推進失效（應該用點v的新valu值重新推進）。
（2），在帶open標記的動態規划算法中：
對點v進行推進後將其關閉（令v.open=false），由於在選擇推進點時只從處於開啟狀態的點中選，這樣就避免了重複推進v點，除非v點valu值被重新整理而再次變為開啟(v.open=true)狀態。即解決了”重複推進“問題，但並沒有解決”推進失效“問題。
終止條件：
無論是在粗獷動態規划算法還是在帶open標記的動態規划算法中，為了保證得到終點的最優值都必須“充分推進”--即推進|V|-1次。
二，Dijkstra演算法：（參見：http://blog.csdn.net/iwantnon/archive/2009/07/07/4329316.aspx

）
推進點選取：
dijkstra
演算法建立在帶open標記的動態規划算法之上，但在選取推進點時只選取valu值已達終態的點v（稱為"極元"）。由於v的valu值已達終態，所以它不
可能再被其它點重新整理，這樣就避免了“推進失效”。那麼，什麼樣的點可以作為“極元”呢？極元是否存在及如何構造，是要根據具體問題來分析的，例如：
（1），在"非負權值最短路徑"問題中，dis最小的點v就可以取作"極元"，原因是由於所有權值非負，所以其它點推進後dis值會更加大於v的dis值，所以不可能將v重新整理。
（2），再如“促銷組合”問題中（注），可以狀態座標距st.loc歐氏距離（或曼哈頓距離）最小的狀態點v為“極元”，原因是其它點推進後其距st.loc的歐氏距離（或曼哈頓距離）定會進一步增大，從而不可能重新整理v點。
（3），再如在"最優排列問題"(例如”旅行商問題“和"工序問題")中，我們可以取已用過的物件集S中物件可個最少的狀態點v作為"極元"，原因是其它所有狀態點推進後物件集必將進一步擴大，從而不可能刷到v點。
由此可見，“極元”的構造往往依賴於推進過程中某個特徵量的單調性。
終止條件：

由
於dijkstra演算法中極小元在每次推進後被關閉，並且由於其valu值已達終態，所以不會再被重新整理，因此不會被再次開啟。也就是說：dijkstra
演算法中任何時刻open=false的點都是valu已達終態的點。所以一旦ed.open==false，則可終止程式。這個在某些情況下與動態規劃中
必須推進滿|V|-1次相比要節約。

註：促銷組合問題：
1),min型：有a,b,c三種商品，1a=3元，1b=2元，1c=4元。另提供下列組合：1a+1b=4元，1a+2b+1c=9元，1b+1c=5元。現要買8a+9b+9c，問最少花多少錢？
2),max型：有a,b,c三種商品，買1a給3個贈品，買1b給2個贈品，買1c給4個贈品。另提供下列組合：買1a+1b給8個贈品，買1a+2b+1c給13個贈品，買1b+1c給7個贈品。現要買8a+9b+9c，問最多可得贈品多少個？
三，A*演算法：（參見：http://blog.csdn.net/iwantnon/archive/2009/07/07/4329286.aspx
）
推進點選取：
A*演算法也是每次只推進一個點，但它是選取當前評價值（注1）最好的點。
由於評價值最好的點未必是極元，所以A*演算法存在“推進失效”，不過只要推進的次數足夠多（例如推進到所有節點都關閉），顯然A*演算法能得到最優解。
不過A*演算法的目的是：較快地（推進次數較少）得到比較滿意的結果。因此往往類似於dijkstra演算法，推進到ed.open=false時就結程式（注2）。由於A*演算法不能像dijkstra演算法那樣保證處於關閉狀態的節點都已達終態，所以得到近似最優解。
注1：評價值=costed+willcost(或者wined+willwin)，其中costed(或wined)即為當前valu值，而willcost(或willwin)則需要估計來確定。
注2：如果是在所有節點都關閉時結束，則狀態空間將包含所有狀態，故空間複雜度與動態規劃相同（因而高於dijkstra演算法）。又由於存在“推進失效”，所以時間複雜度也比dijkstra演算法高。
終止條件：
上面已提到，A*演算法往往取ed.open=false時終止。