動態規劃---實現輸出最大公用子序列的長度以及輸出最大子字串（java語言描述）

參考部落格地址：http://blog.csdn.NET/biangren/article/details/8038605

http://blog.csdn.net/njr465167967/article/details/51675424 動態規劃法        分治法是指將問題劃分成一些獨立的子問題，遞迴地求解各子問題，然後合并子問題的解而得到原問題的解。然而經常會遇到複雜問題不能簡單地分解成幾個子問題，而會分解出一系列的子問題，也就是各子問題包含公用的子子問題。若簡單地採用把大問題分解成子問題，並綜合子問題的解匯出大問題的解的方法，問題求解耗時會按問題規模呈冪級數增加。動態規劃方法對每個子子問題只求解一次，將其結果儲存在一張表中，從【問題】 求兩字元序列的最長公用字元子序列

問題描述：字元序列的子序列是指從給定字元序列中隨意地（不一定連續）去掉若干個字元（可能一個也不去掉）後所形成的字元序列。令給定的字元序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一個嚴格遞增下標序列<i0，i1，…，ik-1>，使得對所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一個子序列。

考慮最長公用子序列問題如何分解成子問題，設A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，並Z=“z0，z1，…，zk-1”為它們的最長公用子序列。不難證明有以下性質：

（1） 如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公用子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=am-1，意味著“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個最長公用子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=bn-1，意味著“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公用子序列。

       這樣，在找A和B的公用子序列時，如有am-1=bn-1，則進一步解決一個子問題，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一個最長公用子序列；如果am-1!=bn-1，則要解決兩個子問題，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個最長公用子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公用子序列，再取兩者中較長者作為A和B的最長公用子序列。而避免每次遇到各個子問題時重新計算答案。 求解：

引進一個二維數組c[][]，用c[i][j]記錄X[i]與Y[j] 的LCS 的長度，b[i][j]記錄c[i][j]是通過哪一個子問題的值求得的，以決定搜尋的方向。
我們是自底向上進行遞推計算，那麼在計算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]與c[i][j-1]均已計算出來。此時我們根據X[i] = Y[j]還是X[i] != Y[j]，就可以計算出c[i][j]。
問題的遞迴式寫成：
回溯輸出最長公用子序列過程： 演算法分析：
       由於每次調用至少向上或向左（或向上向左同時）移動一步，故最多調用(m + n)次就會遇到i = 0或j = 0的情況，此時開始返回。返回時與遞迴調用時方向相反，步數相同，故演算法時間複雜度為Θ(m +n)。
Java實現代碼如下：

package com.hbut.test;/** * Created by HP on 2017/6/6. */public class LCS {    public static void main(String[] args) {        String str1 = "ABCBDAB";        String str2 = "BDCABA";        System.out.println(getMaxSubstringLen(str1, str2));        int[][] b = getTrace(str1, str2);        String sMax = str1.length() > str2.length() ? str1 : str2; // 選擇最長的串，因為要取出最大子串        String sMin = str1.length() < str2.length() ? str1 : str2; // 選擇最小的串        print(b, sMax, sMax.length(), sMin.length());    }    public static int getMaxSubstringLen(String x, String y) {        int xLen = x.length() + 1;                  //加1是因為初始化第一個為0        int yLen = y.length() + 1;        int rLen = xLen > yLen ? xLen : yLen;       //大的串置為行        int cLen = xLen < yLen ? xLen : yLen;       //小的串置為列        int[][] c = new int[rLen][cLen];            //矩陣c儲存狀態        for (int i = 1; i < rLen; i++) {            for (int j = 1; j < cLen; j++) {                if (x.charAt(i - 1) == y.charAt(j - 1)) {   //相等，由斜對角線+1                    c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;                } else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {    //不相等，選取較大的                    c[i][j] = c[i - 1][j];                } else {                    c[i][j] = c[i][j - 1];                }            }        }        return c[xLen - 1][yLen - 1];               //最後那個就是最長的公用序列數量    }    //記錄值的狀態，便於後面回溯    public static int[][] getTrace(String x, String y) {        int xLen = x.length() + 1;        int yLen = y.length() + 1;        int rLen = xLen > yLen ? xLen : yLen;        int cLen = xLen < yLen ? xLen : yLen;        int[][] c = new int[rLen][cLen];        int[][] b = new int[rLen][cLen];        for (int i = 1; i < rLen; i++) {            for (int j = 1; j < cLen; j++) {                if (x.charAt(i - 1) == y.charAt(j - 1)) {                    c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;                    b[i][j] = 2;                } else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {                    c[i][j] = c[i - 1][j];                    b[i][j] = -1;                } else {                    c[i][j] = c[i][j - 1];                    b[i][j] = 0;                }            }        }        return b;    }    // 遞迴實現回溯，然後列印出最長公用子序列（不連續子序列）    public static void print(int[][] b, String s, int i, int j) {        // 遞迴終止條件        if (i == 0 || j == 0) {            return;        }        if (b[i][j] == 2) {            print(b, s, i - 1, j - 1);            System.out.print(s.charAt(i - 1) + " ");        } else if (b[i][j] == -1) {            print(b, s, i - 1, j);        } else if (b[i][j] == 0) {            print(b, s, i, j - 1);        }    }}

輸出結果： 4
B C B A