從e看中國數學教育

從e看中國數學教育

 

我們中國的數學教材上是這樣介紹自然對數的：“ 如果對數的底數是e，則稱為自然對數，其中e=2.71828...，是個無理數。”我和我的同學們當時的感覺就是這個自然對數來的太不自然，反而非常彆扭。雖然沒做過統計，但是我想即使作為成年的我們也有至少90%的人不知道這個e為什麼很自然吧。

e來自於實際的生活中，特別是在生物分裂繁殖、天文計算方面。下面舉一個小例子，假設一個細胞會不斷的分裂，並且從剛分裂產生到成長為一個完整的細胞需要1天。求一天后得到的細胞數。首先假設分裂周期是1天，那麼一天后毫無疑問，我們會得到2個細胞；然後假設分裂周期是半天。那麼1天后我們可以得到（1+1/2)*(1+1/2)=2.25個，以此類推：

分裂周期1/3天：(1+1/3)3=2.37037

分裂周期1/4天：(1+1/4)4=2.44140

分裂周期1/5天：(1+1/5)5=2.48832

分裂周期1/6天：(1+1/6)6=2.52162

分裂周期1/7天：(1+1/7)7=2.54649

分裂周期1/8天：(1+1/8)8=2.56578

分裂周期1/9天：(1+1/9)9=2.58117

繼續，計算得到的資料分別是：

2.59374246

2.604199012

2.61303529

2.620600888

2.627151556

2.632878718

2.637928497

2.642414375

2.646425821

2.650034327

2.653297705

2.656263214

2.658969859

2.661450119

2.663731258

2.665836331

2.667784967

2.669593978

2.671277853

當分裂周期為1/1000000天時，一天后得到的細胞數是2.71828。是不是對這個數字很熟悉，對了，這就是e。這個分裂過程是自然界真實存在的，它代表了分類周期無限小的時候，一個成長周期後我們能得到的細胞數量，我們可以發現，這個數量隨著分裂周期的減半不斷變大，但是變大的速度越來越慢，並且永遠也不會達到一個值，這個值就是e。其實這個也是高等數學的一個重要極限：

lim(1+1/x)x (x--->0) = e

 這個極限在微積分領域極其重要，指數函數ax的導數=axlna就是由這個極限推匯出來的，導數意味著斜率，可見指數函數的斜率與這個e的關係密切。

基本初等函數中，三角反三角中一個重要的常數就是π=3.14159265.....，指數對數函數中的重要常數就是e=2.71828....，這是記憶體的規律，數學體系中恒定的東西。

 

另外一個例子，就是銀行利息。假設你往銀行存1元，年利率為100%，那麼一年後你會得到2元，如果半年利率為50%，一年後你會得到2.25元；如果1/3年利率為33.3%，則一年後會得到2.37037元，不過別太高興，即使按天盈利，一年後也就是(1+1/365)365= 2.714567482，永遠也不會超過e。

現在你是否覺得這個e很自然了呢？

我們的教育從來不會把這些告訴你，只會讓你記住這個數值是多少，根本不提數學的發展曆史，不知道是老師不知道還是故意不讓學生知道。另外一個更加出名的無理數就是圓周率PI了，這個數是圓周長與直徑的比，聽起來確實很自然，但是是怎麼算出來的，卻不怎麼自然了。大部分人覺得很簡單，就是內切多邊形無限逼近法，但是我說大哥啊，你知道多邊形的周長怎麼計算嗎？有些事情看起來簡單，但是背後卻很複雜，請大家思考。

另外，為什麼會出現Pi和e呢，為什麼是無理數呢，難道自然界是這麼不簡潔嗎？其實不是的，這些問題的來源在於我們採用了十進位來計算這些值，是人為設計的，是人類發明的用來解釋自然界的規則，自然界本身是規律的簡潔的，而不同的解釋方式會導致不同複雜程度的解釋公式，用十進位表示生活很簡單，表示其他東西未必簡單，只要是人類發明東西本身就沒有完美的，只有客觀存在的世界裡那些固有的恒定的規律才是最簡潔最完美的。