數論初步(費馬小定理) - Happy 2004

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Description

Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004^X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29).

Take X = 1 for an example. The positive integer divisors of 2004^1 are 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 and 2004. Therefore S = 4704 and S modulo 29 is equal to 6.
Input

The input consists of several test cases. Each test case contains a line with the integer X (1 <= X <= 10000000).

A test case of X = 0 indicates the end of input, and should not be processed.
Output

For each test case, in a separate line, please output the result of S modulo 29.
Sample Input

1
10000
0
Sample Output

6
10

 

 

 

-----------------------------------------------------------------我是分割線^_^--------------------------------------------------------------------------------

 

 

 

這個題的題目倒是挺happy的，做題的我一點都不happy，我一直在想這都什麼方法，畢竟水太深了，我也溺水了= =
老樣子，先解釋題目：題目的意思就是給定一個X，要求求出2004的X次方的因數和，因數和嘛，比如4的因數和就是
1 + 2 + 4 = 7，然後呢，題目的意思就是這樣，然偶我就懵比了，懵比了很久搜題解去了，搜到了還是懵比，什麼鬼題解，
就不能說詳細一點嗎，詳細一點的打字又不準確，不理解的部分有那麼多.............算了不吐槽了= =

先來一條科普：費馬小定理,
費馬小定理(Fermat Theory)是數論中的一個重要定理，其內容為： 假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那麼 a^(p-1)≡1（mod p）。
即：假如a是整數，p是質數，且a,p互質(即兩者只有一個公約數1)，那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恒等於1。

結合一下同餘德定理，a^(p - 1)%p = 1%p = 1,也就是說，在一些情況下可以把1替換成前面那個東西，等一下有用。

看著題目當然沒頭緒，直接來方法吧，我們先把2004分解質因數，得到了2，3，167，這些東西有什麼用呢？下面再來看看一個新東西

一個數的因子和是一個積性函數
關於積性函數，即F(ab)=F(a)*F(b)，在數論裡有很多積性函數

來證明一下：

S(x)表示x的因子和。

如果x可以分成a,b（一定為素數），那麼S(x)=S(a)*S(b）。

為什麼一定要分成素數呢，因為一個素數的因子之後1和它本身，對於a,b 來說，就是1,a,1,b，那麼x=a*b,x的因子只有1，a, b，x這四個數，

這就是所謂的一個數的因子和是一個積性函數。

 

則題目求為:S(2004^X)mod 29

那麼可以知道：2004=4 * 3 *167(注意到4不是質數，但使用要求必須是質數，所以要替換成2的平方)
S(2004^X)=S(2^(2X)) * S(3^X) * S(167^X)

如果 p 是素數 則其因子只有1和它本身，因此在求其因數和的時候可以使用等比數列的求和公式，不懂得自己去用錯位相減法重溫一下高中知識= =，

所以有：S(p^X)=1+p+p^2+...+p^X = (p^(X+1)-1)/(p-1)，這個運算式的意思是求p的x次方的這個數的因數和

所以：S(2004^X) % 29 = (2^(2X+1)-1) % 29 * (3^(X+1)-1)/2 % 29 * (167^(X+1)-1)/166 % 29，

因為答案是要對29模數的，所以前面一項可以動用快速冪模數算出來了，可是後面兩個帶有除法就有點難搞了，

在乘法中可以a*b%c = (a%c * b%c)%c, 加法中也可以有(a+b+c)%c = (a+(b+c)%c)%c,減法也是有的，和加法一樣，

可惜的是除法是個奇葩，它非主流= =，所以不能這樣這樣算，不信的話你算一算(14/2)%4,你換成（14%4） / （2%4）答案

是不一樣的，這個時候就要用到一種叫做逆元的東西，它的作用是把除法改成乘法模數，比如a/b % c 可以改成 a * b^(c-2)%c,

其中b^(c-2)就是b的逆元,這隻是逆元的一種求解方法，由於結合了費馬小定理，這種方法比較適合於電腦，因為可以用快速冪

模數進行運算求解，現在來開始變化：a/b % c = a * b^(-1) % c = a * b^(-1) * 1 % c,然後倒回去看上面的費馬小定理的下面

那一條小提示，就可以把1替換了，結果變成了a * b^(-1) * b^(c-1) % c = a * b^(c-2) % c,好的，如此一來就順利完成的轉換，

除法的模數也變成的乘法，接下來就可以使用快速冪模數進行大屠殺了，不過寫代碼的時候要注意減一（等比數列求和）..........

 

 

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>#include<cmath>#include<map>using namespace std;int Mod(int a, int b, int c) {//快速冪模數算出a的b次方模c的結果    int ans = 1;    while (b) {        if (b & 1) {            ans = ans * a % c;        }        b >>= 1;        a = a * a % c;    }    return ans;}int main()//如果看n有點不習慣，就按照上面的習慣看，把n換成x就行了{    //freopen("input.txt", "r", stdin);    int n;    while (scanf("%d", &n), n) {        int a = Mod(2, 2 * n + 1, 29) - 1;//求S(a)            int b = (Mod(3, n + 1, 29) - 1) * Mod(2, 27, 29);//求S(b)            int c = (Mod(22, n + 1, 29) - 1) * Mod(21, 27, 29);//這裡把167換成了22，是因為22與167對29是同餘的，所以簡化一下,求S(c)        printf("%d\n", a * b * c % 29);//這裡就是答案，S(答案) = S(a) * S(b) * S(c),還不理解就上去看看奇性函數= =    }    return 0;}

數論初步(費馬小定理) - Happy 2004