插曲：關於遞迴

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1 概述

迴圈與遞迴是演算法中最常見的控制過程的方法，迴圈自不必說，只要學過電腦語言，必然都會講這種控制結構；而對於遞迴，大家也能寫得很漂亮（樹演算法中和圖演算法中使用遞迴的情境也特別多）。

遞迴的好處也顯而易見，代碼體積小，容易維護。然而，遞迴並不是萬能鑰匙，特別是當運行環境記憶體空間有限以及要求高效能的情境。下文首先介紹遞迴的運行原理，然後用執行個體說明遞迴的代價，接著講解遞迴如何轉換成迴圈及其限制，最後對本文進行總結。

2 遞迴的運行原理

這裡的遞迴特指遞迴函式，遞迴函式在程式中執行的原理是什麼（馮諾伊曼體系下）？這是認識遞迴函式執行效率的關鍵。下面我們以構建斐波那契數列為例，說明遞迴函式的執行過程。構建斐波那契數列的遞迴函式(golang實現)如下：
fun Fib(n int) int{ ret : = 0 if n == 0 || n == 1 { // 1 ret = 1 // 2 } ret = Fib(n - 1) + Fib(n - 2) // 3 return ret}
學過編譯原理的童鞋都知道，函數是在棧（對，就是童鞋們在資料結構上學習的棧）上啟動並執行，如果n=4，Fib(4)的原理示意1所示：

圖1:fib(4)動態

要求fib(4)，必須在棧上求Fib(3)（要求Fib(3),必須再為在棧上求Fib(2)和Fib(1)，要求Fib(2)，在棧上繼續求fib(1)和Fib(0)）和Fib(2)（類似fib(3)的過程）。這樣的遞迴演算法，必須在棧上記錄函內的局部變數、傳遞參數、返回地址（直到調用結束後回到哪）和上一棧幀的EBP和BP（恢複調用者棧），並且頻繁出棧入棧是需要系統開銷的，雖然單次入棧出棧開銷不大，但是如果要求Fib(1000)這樣的函數，恐怕一般的單機估計得跑幾十分鐘甚至半天了（在筆者的mac本上跑了幾分鐘都沒出來，直接把進程殺了，不能忍）。

為了有個直觀的感受，筆者特意做了一個簡單的實驗（見我的git），分別以遞迴和非遞迴求解Fib(10), Fib(20), Fib(30), Fib(40), Fib(50)的運行結果，如所示：

圖2：遞迴和非遞迴實驗結果

從運行結果可以看出，當n值較小時（<10）時，遞迴啟動並執行時間少於非遞迴已耗用時間（原因應該是非遞迴分配slice需要佔用相對較長的時間，這種寫法有些弱智，其實只需要兩個中間變數即可，類似於不用第三個變數實現兩變數值交換的思路），當n>=20後，非遞迴已耗用時間遠低於遞迴已耗用時間，n越大，非遞迴相對遞迴越高效。

當然，非遞迴高效運行也不是沒有代價的，相比遞迴函式，編寫代碼的難度要更高並且更難維護。

3 遞迴轉非遞迴

那如何將遞迴函式轉換為非遞迴函式呢？是否所有的遞迴函式都能換成非遞迴函式？

首先必須弄清楚遞迴有哪些種類，遞迴有兩種，一種是單向遞迴，類似於Fib(n)的這種是一種典型的單向遞迴（Fib(n)->Fib(n-1)->Fib(n-2)->...->Fib(1)）；另一種的遞迴（不妨稱其為互動遞迴，不一定準確）的形式為：F1(n) -> F2(n) -> F1(n-1) -> F2(n-1) -> ...

單向遞迴中，以尾遞迴效率最高，尾遞迴是指以調用自身結尾的函數。上文中提到的Fib(n)就不是尾遞迴，但是可以轉換為遞迴函式如下（不防比較一下尾遞迴寫法和非遞迴寫法的效率）：
fun TailFib(n, f1, f2 int) int{ if n < 2{ return f1 } return TailFib(n-1, f2, f1 + f2)}
其對應的非遞迴寫法為：
func NotRecursion(n, f1, f2 int) int{ if n < 2{ return 1; } i := 0 for i <= n { f2 = f1 + f2 f1 = f2 - f1 } return f1}
尾遞迴在遞迴函式中的效率最高，因為當遞迴調用返回時，返回到上一層遞迴調用語句的下一語句，而這個位置正好是程式的結尾，因此遞迴工作棧中可以不儲存返回地址；除了傳回值和引用值外，其他參數和局部變數都不再需要。根據尾遞迴的邏輯，很容易寫出非遞迴的演算法。

對於互動遞迴，其形式相對較為複雜，可能在作具體項目時，無意中就寫出來了。互動遞迴相對單向遞迴而言，難以直接寫出相應的非遞迴函式，需要抽取出F1(n) -> F2(n) -> F1(n-1) -> F2(n-1) -> ...裡面的F1(i)->F2(i)->F1(i-1)->F2(i-1)這裡面的公用邏輯，即用一個迭代可以表述其中的轉換。如果難以抽取，最直接的辦法是類比入棧出棧過程，抽取裡面的參數特徵，建立迴圈迭代（後續想到了補一個例子）。

4 總結

遞迴是演算法中特別是樹、圖等結構中常用的方法，理解遞迴的運行原理是寫出高效代碼的關鍵。針對效率要求比較高的情境，可以嘗試寫出非遞迴的版本。總體上而言，遞迴寫法的代碼體積小、易維護，非遞迴寫法代碼理解維護稍顯困難，但執行效率相對較高。