C語言關於補碼的解釋及誤區

 

在中文的C語言教材中，總有些人被原碼、反碼、補碼弄得暈頭轉向，下面的文章寫的不錯，闡述明了，特轉載之……

（其實我也覺得反碼之類的東西是有些人自作聰明弄出來的定義，反而弄得人暈頭轉向，有時候簡單挺好）

本文開始：

關於補碼，看過一些書籍和網文，基本都是在“求反加一”的方法、步驟上反覆強調，而對於補碼的本質和定義，討論的不足。這就對初學者的造成了誤導，使得很多人都糾結在－128的補碼求取過程中。
關於反碼和原碼，大家都是在鄭重其事的講解，其實，學過的人都知道，它們的重要性是 0 ！
做而論道把自己對於補碼的認識寫在下面，但願對讀者有些協助。

加法器
電腦裡面，只有加法器，沒有減法器，所有的減法運算，都必須用加法進行。
即：減去某個數字（或者說加上某個負數）的運算，都應該研究如何用加法來完成。

模、補數
在日常生活當中，可以看到很多這樣的事情：
把某物體左轉 90 度，和右轉 270 度，在不考慮圈數的條件下，最終的效果是相同的；
把分針倒撥 20 分鐘，和正撥 40 分鐘，在不考慮時針的條件下，效果也是相同的；
把數字 87，減去 25，和加上 75，在不考慮百位元的條件下，效果也是相同的；
……。
上述幾組數字，有這樣的關係：
　　90 + 270 = 360
　　20 + 40 = 60
　　25 + 75 = 100
式中的 360、60 和 100，就是“模”（也可以理解成“進位”）。
式中的 90 和 270、20 和 40，以及 25 和 75，就是一對對“互補”的數字。

知道了“模”，求某個數位“補數”，就是輕而易舉了：
如果模為 365，數字 120 的補數為：365 - 120 = 245。

用補數代替原數，可把減法轉變為加法。出現的進位就是模，此時的進位，就應該忽略不計。

位元的模
前面說過的十進位數 25 和 75，它們是 2 位元的運算，模是 100，即 1 的後面加上 2 個 0。
如果有 3 位元參加運算，模就是 1000，即 1 的後面加上 3 個 0。
這裡的 1000，是十進位數的一千，可以寫成 10^3，即 10 的 3 次方。
推論：有多少位元參加運算，模就是在 1 的後面加上多少個 0。

對於位元字，模也是這樣推算。
如果是 3 位位元參加運算，模就是 1000，即 1 的後面加上 3 個 0；
那麼當 8 位位元參加運算，模就是 1 0000 0000，即 1 的後面加上 8 個 0。
16 位位元參加運算，模可就大了，是 1 的後面加上 16 個 0。
注意：這裡提到的 1、0，都是位元。
8 位位元的模可以按照十進位寫成 2^8，即 256。
16 位元位元的模，就是 2^16，按照十進位，它就是 65536。

位元的補碼
求位元的補數，目的是往電腦裡面存放。
在電腦裡面，存放的數字什麼的，都稱為機器碼；那麼二進位形式的補數，也就改稱為補碼了。
一般情況下，都是以 8 位位元來討論補碼，少數也有用 16 位元的。

計算時加上正數，是不需要進行求取補數的；只有進行減法（或者加上負數），才需要對減數求補數。
補碼就是按照這個要求來定義的：正數不變，負數即用模減去絕對值。

已知一個數 X，其 8 位字長的補碼定義為：

　　　　   (1)  X ;                 0 <= X <= +127 (正數和0的補碼，就是該數字本身)
 　[X]補 =
　　　　　(2)  2^8 －|X| ;    －128 <= X < 0 (負數的補碼，就是用 1 0000 0000（2的8次方），減去該數位絕對值)

例如 X = －126，其補碼為 1000 0010，計算方法如下：

　　　　1 0000 0000
　　　－　0111  1110
　－－－－－－－－－－－
　　　　　1000 0010

可以看出，按照補碼的定義來求補碼，概念十分清晰，方法、步驟也是十分簡單的。

應用補碼進行計算
用補碼計算：83－25＝58。

　　　　83　　－－－都變成補碼，再用加法運算－－>　   0101 0011
　　－　25　　－> 1 0000 0000 - 0001 1001－>   + 1110 0111
　－－－－－   　　　　　　　　                               －－－－－－－－
　　　　58　　<－－忽略進位1，結果就是正確的－－[1]  0011 1010

計算結果如果超出了－128～＋127的範圍，結果將是錯誤的，這是沒有辦法糾正的。

應用補碼進行計算，完全符合前面介紹的“用補數可把減法轉換成加法”的做法，只要忽略進位（這個進位1，就是求補的時候，加進去的1 0000 0000中的1），結果就是正確的。

這些關於補數、補碼的定義、方法、步驟，讀者如果看懂了前面的文字，相信大家自己都可以總結出來。
那麼為什麼總有些網友要提出關於求取補碼的問題呢？
在做而論道看來，就是因為很多教材和網文都在這個問題上“畫蛇添足”。

關於補碼的蛇足
補碼出現後，後人又補充了不少“蛇足”：符號位、求反加一、原碼、反碼......。
下面的表格給出了一些 8 位元的補碼。

 

－－符號位
從這個表格中，可以看出特點：正數的最高位都是0，負數的最高位都是1。
這樣一來，有人就把最高位理解成了符號位。說什麼是規定的用0代表正號，......。並且鄭重其事的補充說明：“符號位也參加運算”。真能忽悠！賣拐、賣車的都甘拜下風。
其實，前面說過的 補數 和 補碼的定義式裡面，根本就沒有什麼符號位。這最高位的1、0是自然出現的，並不是由人來規定的。
－－求反加一
負數補碼的後面七位，也可以看出一個不完全的規律：它們和絕對值之間存在著“求反加一”的關係。
於是，又有人推出了這個不同於定義式的演算法。
－－原碼和反碼
由於使用“求反加一”來求取補碼，順便又引出了 原碼 和 反碼 兩個垃圾概念。

其實，“求反加一”的計算方法只是適用於計算二進位形式的補數，它並不是通用的。
並且把“求反加一”用於求－128的補碼，有個溢出的現象，很多人都在這裡被弄瘸了很長時間。
原碼和反碼也只不過是“人工”進行“求反加一”時的中間過程，在電腦裡面根本是不存在的，它們也就沒有絲毫用處。

做而論道的建議
求取補碼，就按照定義的規定，負數採用“模減去絕對值”的方法來求，這是求補數的通用方法，適合於各種進位、各種大小的數字。
不要用求反加一的方法，也就不用理會原碼和反碼了，也不牽涉符號位的問題。
以後的計算，也就沒有必要特殊說明：“符號位一起參加運算...”，因為根本就沒有什麼符號位。

如果把原碼和反碼、符號位等等垃圾概念，從電腦的書中刪減掉，學習補碼將會省力不少。