母函數詳解

定義

產生函數即母函數，是組合數學中尤其是計數方面的一個重要理論和工具。產生函數有普通型產生函數和指數型產生函數兩種，其中普通型用的比較多。形式上說，普通型產生函數用於解決多重集的組合問題，而指數型母函數用於解決多重集的排列問題。母函數還可以解決遞迴數列的通項問題（例如使用母函數解決斐波那契數列的通項公式）。 普通型母函數

將任意一個序列 a0,a1,a2,a3,⋯,an a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ , a n a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n}以一個函數的方式聯絡起來

G(x)=a0x0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn G ( x ) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ⋯ + a n x n G(x)=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots +a_{n}x^{n}

則稱 G(x) G ( x ) G(x)稱為序列的產生函數

普通型母函數可以解決多重集的組合問題，當你要求解組合問題時，可以將組合數與母函數的係數聯絡起來

例如我們有一個多重集{ 3⋅a,4⋅b,5⋅c 3 ⋅ a , 4 ⋅ b , 5 ⋅ c 3\cdot a,4\cdot b,5\cdot c},求他的10-組合數
我們可以寫成母函數的形式

G(x)=(1+x+x2+x3)(1+x+x2+