擴充歐幾裡德演算法

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0、歐幾裡德定理

一切的基礎，自然就是歐幾裡德定理了。它的形式非常簡單（sometimes naive）

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)    

證明：

假設a,b的公約數為g,且$${a}={bx+y}{(x,y\in Z)}$$
則顯然有$${g \mid a},\qquad {g \mid b},\qquad{{a}\ mod\ {b}}={y}$$
$${\because g \mid b}$$
$${\therefore g \mid bx}$$
又$${\because g \mid a}$$
$${\therefore g \mid {(a-bx)}}$$
即$${g \mid y}$$
即$${g \mid {{a}\ mod\ {b}}}$$
故g是b和a mod b的公約數
即（a，b）和（b，a mod b）的公約數是相同的，所以它們的最大公約數也是相同的。

1. 歐幾裡德演算法

   又名"輾轉相除法"，是目前求最大公約數的通用演算法，實現簡易功能強大。（代碼可以說是很漂亮了）

   原理正是歐幾裡德定理，話不多說上代碼：

   int gcd(int x, int y){return y ? gcd(y, x%y) : x;}

    

   時間複雜度：由於a mod b必然小於，上一次的b變成a，上一次的a mod b變成b，故最差情況也是O(log n)的。

2. Bezout定理

   在介紹擴充歐幾裡德定理之前，首先需要介紹一下Bezout定理（貝祖定理，裴蜀定理）。

   Bezout定理：若${ax+by=z}$，則有$${gcd(a,b)}\mid{z}$$

   Bezout定理拓展：若${a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n}=z$，則有$${gcd(a_1,a_2,...,a_n)}\mid{z}$$

3. 擴充歐幾裡德演算法

   擴充歐幾裡德演算法十分強大，可以用來求二元一次方程的通解。

   顯然當 $b=0$，$gcd(a,b)=a$。此時 $x=1，y=0$ 
   當$a>b>0$ 時 
   設  $$ax_1+by_1=gcd(a,b)$$
    $${bx_2}+{({a}\ mod\ {b})y_2}={gcd(b,{a}\ mod\ {b})}$$
   由歐幾裡德定理得 $$gcd(a,b)=gcd(b,{{a}\ mod\ {b}})$$
   則：$$ax_1+by_1=bx_2+{({a}\ mod\ {b})y_2}$$
   也就是 $$ax_1+by_1=ay_2+b(x_2-{[{a}/{b}]}{\times} y_2)$$
   根據恒等定理得：$${x_1=y_2},\qquad{y_1=x_2-{[{a}/{b}]}{\times} y_2}$$
   這樣我們就得到了求解${x_1},{y_1}$的方法：${x_1},{y_1}$的值基於 ${x_2},{y_2}$  
   由Bezout定理我們知道：${ax+by=z}$，z為gcd（a，b）若干倍，所以我們先求解${ax+by={gcd(a,b)}}$，再將求出的解乘以 ${{z}/{gcd(a,b)}}$ 就好了。(上文中‘/‘指整除)

   Cpp代碼：

   int exgcd(int a, int b, int x, int y) {    int d = a;    if (b != 0) {        d = exgcd(b, a%b, y, x);        y -= (a / b)*x;    }    else {        x = 1; y = 0;    }    return d;}

    

    

    

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