擴充歐幾裡得，擴充歐幾裡德

擴充歐幾裡得，擴充歐幾裡德

歐幾裡德演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。

基本演算法：設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

遞迴代碼：

__int64 gcd(__int64 a,__int64 b){    return b==0?a:gcd(b,a%b);}

擴充歐幾裡得

基本演算法：對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，

          必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

證明：設 a>b。

1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；

2，ab!=0 時，設 ax1+by1=gcd(a,b);

　 bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　 根據樸素的歐幾裡德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

 　則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　 即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　 根據恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

   這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.

　 上面的思想是以遞迴定義的，因為 gcd 不斷的遞迴求解一定會有個時候 b=0，所以遞迴可以結束。

遞迴代碼：

__int64 exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x1,__int64 &y1){    __int64 t,d;    if(b==0){        x1=1;        y1=0;        return a;    }    d=exgcd(b,a%b,x1,y1);    t=x1;    x1=y1;    y1=t-a/b*y1;    return d;}

擴充歐幾裡德演算法的應用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模線性方程（線性同餘方程）；

（3）求解模的逆元；

補充定理：

1.設a，b，c為任意整數。若方程ax+by=c的一組整數解為（x0，y0），則它的任意整數解都可以寫成（x0+kb',y0-ka'),其中a'=a/gcd（a，b），b'=b/gcd（a，b），k為任意整數
2.定理：若ax+by=g，（g=gcd(a,b)，即g是a,b的最大公約數）有整數解；則ax+by=c（c是g的倍數）有整數解

擴充歐幾裡得演算法PASCAL

gcd(a,b)=ax+by
gcd(b,a mod b) = bx'+(a mod b) y'
=bx'+ ( a- (a div b) *b)y'
=bx'+ ay'- (a div b) *b *y'
=ay'+ b(x'- (a div b) y')
因為gcd(a,b)=gcd(b , a mod b)
所以ax+by=ay'+ b(x'- (a div b) y')
x=y'
y=x'- (a div b) y'

var
a,b,x,y,k:integer;

function extended_gcd(a,b:longint; var x,y:longint):longint;
var
t:longint;
begin
if b=0 then
begin
x:=1; y:=0;
exit(a);
end;
extended_gcd:=extended_gcd(b,a mod b , x, y);
t:=x;
x:=y;
y:=t - (a div b)*y;
end;

begin
readln(a,b);
k:=extended_gcd(a,b,x,y);
writeln(a,'*(',x,')+',b,'*(',y,')=',k);

readln;
end.

分給的也忒少了
 
擴充歐幾裡得演算法 好懂一點

歐幾裡德演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。其計算原理依賴於下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a
mod b)
證明：a可以表示成a = kb +
r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有
d|a,
d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a
mod b)的公約數
假設d 是(b,a
mod b)的公約數，則
d | b , d
|r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod
b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證
歐幾裡德演算法就是根據這個原理來做的，其演算法用C++語言描述為：
int
Gcd(int a, int b)
{
if(b ==
0)
return a;
return
Gcd(b, a % b);
}
當然你也可以寫成迭代形式：
int
Gcd(int a, int b)
{
while(b !=
0)
{
int r = b;
b = a % b;
a =
r;
}
return
a;
}
本質上都是用的上面那個原理。
補充:
擴充歐幾裡德演算法是用來在已知a,
b求解一組x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根據數論中的相關定理)。擴充歐幾裡德常用在求解模線性方程及方程組中。下面是一個使
用C++的實現：
int
exGcd(int a, int b, int &x, int
&y)
{
if(b ==
0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r =
exGcd(b, a % b, x, y);
int t =
x;
x =
y;
y = t - a
/ b * y;
return
r;
}
把這個實現和Gcd的遞迴實現相比，發現多了下面的x,y賦值過程，這就是擴充歐幾裡德演算法的精髓。
可以這樣思考:
對於a' = b,
b' = a % b 而言，我們求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
由於b' = a
% b = a - a / b * b (註：這裡的/是程式設計語言中的除法)
那麼可以得到:
a'x + b'y
= Gcd(a', b') ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b)
===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此對於a和b而言，他們的相對應的p，q分別是
y和(x-a/b*y).
在網上看了很多關於不定方程方程求解的問題，可都沒有說全，都只說了一部分，看了好多之後才真正弄清楚不定方程的求解全過程，步驟如下：
求a * x
+ b * y = n的整數解。
1、先計算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，則方程無整數解；否則，在方程兩邊同時除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a'
* x + b' * y = n'，此時Gcd(a',b')=1;
2、利用上面所說的歐幾裡德演算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一組整數解x0,y0，則n' * x0,n' *
y0是方程a' * x + b' * y = n'的一組整數解......餘下全文>>