快速模式比對演算法（KMP）

    恐怕現在用過電腦的人，一定都知道大部分帶文本編輯功能的軟體都有一個快速鍵ctrl+f 吧（比如word）。這個功能主要來完成“尋找”，“替換”和“全部替換”功能的，其實這就是典型的模式比對的應用，即在文字檔中尋找串。

1.模式比對

    模式比對的模型大概是這樣的：給定兩個字串變數S和P，其中S成為目標串，其中包含n個字元，P稱為模式串，包含m個字元，其中m<=n。從S的給定位置（通常是S的第一個位置）開始搜尋模式P。如果找到，則返回模式P在目標串中的位置（即：P的第一個字元在S中的下標）。如果在目標串S中沒有找到模式串P，則返回-1.這就是模式比對的定義啦，下面來看看怎麼實現模式比對演算法吧。

2.樸素的模式比對

    樸素的模式比對演算法非常簡單，容易理解，大概思路是這樣的：從S的第一個字元S0開始，將P中的字元依次和S中字元比較，若S0=P0 && …… && Sm-1 = Pm-1，則證明匹配成功，剩下的匹配無需進行了，返回下標0。若在某一步Si != Pi 則P中剩下的字元也不用比較了，不可能匹配成功了，然後從S中第二個字元開始與P中第一個字元進行比較，同理，也是知道Sm = Pm-1或者找到某個i使得Si != S-1為止。依次類推若知道以S中第n-m個開始字元為止，還沒有匹配成功則證明S中不存模式P。（想想為什麼這裡強調是n-m）這個代碼實現應該是非常簡單的，具體開始參考strstr函數的內部實現。可以看看百度百科，給個連結http://baike.baidu.com/view/745156.htm，這裡不寫出來了，還得趕緊進入正題KMP呢。

3.快速模式比對演算法（KMP）

    樸素的模式比對效率不高的主要原因是進行了重複的字元比較。下一次比較和上一次比較沒有任何的聯絡，是樸素模式比對的缺點，其實上一次比較的比較結果是可以利用的，這就產生了快速模式比對。在樸素的模式比對中，目標串S的下標移動是一步一步的，這其實並不好，移動步數沒有必要為1。

　　現在不妨假設，當前匹配情況是這樣的：S0 …… St St+1 …… St+j  與 P0 P1…… Pj ，現在正在嘗試匹配的字元是St+j+1和Pj+1，並且St+j+1 != Pj+1，言外之意就是說St St+1……St+j和P0 P1……Pj是完全符合的。那麼這個時候，S中下一次匹配開始位置應該是什麼呢？？按照樸素的模式比對，下次比較應該從St+1開始，並且令St+1和P0比較，但是在快速模式比對中並不是這樣，快速模式比對選擇St+j+1和Pk+1比較，K是什麼呢？K是這樣的一個值，使得P0 P1……Pk 和 Pj-k Pj-k+1……Pj完全符合，不妨設k=next[j]，因此P0 P1……Pk和St+j-k St+j-k+1 ……St+j完全符合。那麼下一次要進行匹配的兩個字元應為St+j+1和Pk+1。S和P都沒有回溯到下標0在進行比較，這就是KMP之所以快的原因啦。

    現在關鍵問題來了，這個K怎麼能得到呢？如果得到這個K值複雜度高，那這個思路就不好了，其實這個K呢，只和模式串P有關係，並且要求m個k，k = next[j]，因此只要算一次儲存到next數組中就可以了，並且時間複雜度和m有關係（線性關係）。看看具體怎麼求next數組的值，即求k。

用歸納法求next[]：設next(0) = -1，若已知next(j) = k，欲求得next[j+1]。

（1）如果Pk+1 = Pj+1，顯然next[j+1] = k+1.如果Pk+1 != Pj+1，則next[j+1] < next[j]，於是尋找h < k 使得P0 P1……Ph = Pj-h Pj-h+1……Pj = Pk-h Pk-h+1……Pk。也就是說h = next(k);看出來了吧，這是個迭代的過程。（也就是以前的結果對求以後的值有用）

（2）如果不存這樣的h，說明P0 P1……Pj+1中沒有前後相等的子串，因此next[j+1] =-1.

（3）如果存在這樣的h，繼續檢驗Ph和Pj是否相等。知道找到這中相等的情況，或者確定為-1求next[j+1]的過程結束。

看看實現的代碼：

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int next[20] ={0};//注意返回結果是一個數組next，儲存m個k值得地方，即若next[j]=k//則str[0]str[1]…str[k] = str[j-k]str[j-k+1]…str[j]//這樣當des[t+j+1]和pat[j+1]匹配失敗時，下一個匹配位置為des[t+j+1]和next[j]+1void Next(char str[],int len){    next[0] = -1;    for(int j = 1 ; j < len ; j++)    {        int i = next[j-1];        while(str[j] != str[i+1] && i >= 0)//迭代的過程        {            i = next[i];        }        if(str[j] == str[i+1])        {            next[j] = i+1;        }        else        {            next[j] = -1;        }    }}

現在有了next數組儲存的k值，就可以實現KMP演算法了：

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//des是目標串，pat是模式串，len1和len2是串的長度int kmp(char des[],int len1,char pat[],int len2){    Next(str2,len2);    int p=0,s=0;    while(p < len2  && s < len1)    {        if(pat[p] == des[s])        {            p++;s++;        }        else        {            if(p==0)             {                s++;//若第一個字元就匹配失敗，則從des的下一個字元開始            }            else            {                p = next[p-1]+1;//用失敗函數確定pat應回溯到的字元            }        }    }    if(p < len2)//整個過程匹配失敗    {        return -1;    }    return s-len2;}

時間複雜度：
　　對於Next函數近似接近O（m），KMP演算法的時間複雜度為O(n)，所以整個演算法的時間複雜度為O(n+m)

空間複雜度：

　　多引入了O（m）的空間複雜度。

4.應用KMP的一道面試題 

　　給定兩個字串是s1和s2，要判定s2是否能夠被s1做迴圈移位得到的字串包含。例如s1=AABCD，s2 =CDAA，返回true，因為s1迴圈移位可以變成CDAAB。給定s1=ACBD和s2=ACBD則返回false。

      分析：不難發現對s2移位得到的字串都將是字串s1s1的子串，如果s2可以有s1迴圈移位得到，那麼s2一定是s1s1的子串，這時KMP演算法是不是就很管用了呢。

思考：有沒有比KMP更好的思路呢？？

 學習中的一點總結，歡迎拍磚哈^^