圖論中四個最短路徑演算法

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(一)單源最短路徑演算法

1. Dijksta演算法

要求圖G(V,E)的所有邊的權重都為非負值。

運用了貪心演算法的思想，但是較好地的是，其找到的解一定是最優解。

 演算法主要思想：

  用數組d[]表示開始節點A到其餘節點的路徑長度；用w(u,v)表示節點u到v的權值，若兩節點無直接路徑，則該值為無窮大；矩陣Q儲存每次迴圈每個節點的dv]值，總結點數為n。

  初始時，開始節點到自身距離d[A]初值為0，到其餘節點d[V]初值為無窮大。

  迴圈：對每個節點進行判斷，若d[v]大於d[u]+w(u,v)，則令d[v]=d[u]+w(u,v)，即進行一次鬆弛操作。一次操作後，選取本次迴圈中d[i]最小的節點i為下次迴圈的節點u，這也是貪心的思想所在，即每次迴圈選取路徑最短的節點為中間節點。

  上述進行迴圈n-1次。

  則d[v]為從初始節點到節點v的最短路徑。

時間複雜度：O(V.Texteact-min+E.Tdecrease-key)。

2. Bellman-Ford演算法

圖G(V,E)中的邊的權重可以為負值。

思想：

 在上述Dijkstra演算法的思想上，增加了一個判斷是否有負環路的操作，如果有負環路，則表示該圖中不存在從初始節點到目標節點的最短路徑。

判斷是否存在負環路：鬆弛操作進行完後，判斷若d[v]>d[u]+w(u,v)，則表示有負環路，報告錯誤。

時間複雜度：O(VE)。

(二)全源最短路徑演算法

3. Floyd-Warshall演算法

要求圖G(V,E)的所有邊的權重都為非負值。

思想：

  用Ck(i,j)表示第k次迴圈後的矩陣C(i,j)，k從1到n。

該演算法的架構為三層迴圈，最外層為迴圈次數，即一共產生n個矩陣C(,)，裡面兩層迴圈即n=k時對C(,)進行遍曆填寫。

C(i,j)表的填寫為鬆弛操作：若C(i,j)>C(i,k)+C(k,j)，則C(i,j)=C(i,k)+C(k,j)。

時間複雜度：O(n^3)。

4. Johnson演算法

圖G(V,E)中的邊的權重可以為負值。

思想：

  對權重重新賦值，使其新的權重不小於0，且保持各該圖的最小路徑關係，再利用Bellman-ford演算法進行計算。

時間複雜度：O(VE+V^2LGV)。

 

匆忙寫的，難免有錯誤的地方，要是發現了歡迎指正。

圖論中四個最短路徑演算法