影像處理中的傅裡葉變換

傅立葉變換在影像處理中有非常非常的作用。因為不僅傅立葉分析涉及影像處理的很多方面，傅立葉的改進演算法，

比如離散餘弦變換，gabor與小波在影像處理中也有重要的分量。

印象中，傅立葉變換在影像處理以下幾個話題都有重要作用：
1.映像增強與映像去噪
絕大部分噪音都是映像的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻——雜訊;  邊緣也是映像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強原始映像的邊緣；
2.映像分割之邊緣檢測
提取映像高頻分量
3.映像特徵提取：
形狀特徵：傅裡葉描述子
紋理特徵：直接通過傅裡葉係數來計算紋理特徵
其他特徵：將提取的特徵值進行傅裡葉變換來使特徵具有平移、伸縮、旋轉不變性
4.映像壓縮
可以直接通過傅裡葉係數來壓縮資料；常用的離散餘弦變換是傅立葉變換的實變換；

傅立葉變換
傅裡葉變換是將時域訊號分解為不同頻率的正弦訊號或餘弦函數疊加之和。連續情況下要求原始訊號在一個周期內滿足絕對可積條件。離散情況下，傅裡葉變換一定存在。岡薩雷斯版<影像處理>裡面的解釋非常形象：一個恰當的比喻是將傅裡葉變換比作一個玻璃稜鏡。稜鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。傅裡葉變換可以看作是數學上的稜鏡，將函數基於頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函數。
傅立葉變換有很多優良的性質。比如線性，對稱性（可以用在計算訊號的傅裡葉變換裡面）;

時移性：函數在時域中的時移，對應於其在頻率域中附加產生的相移，而幅度頻譜則保持不變；

頻移性：函數在時域中乘以e^jwt，可以使整個頻譜搬移w。這個也叫調製定理，通訊裡面訊號的頻分複用需要用到這個特性（將不同的訊號調製到不同的頻段上同時傳輸）；
卷積定理：時域卷積等於頻域乘積；時域乘積等於頻域卷積（附加一個係數）。（影像處理裡面這個是個重點）

 

訊號在頻率域的表現
在頻域中，頻率越大說明原始訊號變化速度越快；頻率越小說明原始訊號越平緩。當頻率為0時，表示直流訊號，沒有變化。因此，頻率的大小反應了訊號的變化快慢。高頻分量解釋訊號的突變部分，而低頻分量決定訊號的整體形象。
在影像處理中，頻域反應了映像在空域灰階變化劇烈程度，也就是映像灰階的變化速度，也就是映像的梯度大小。對映像而言，映像的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應在頻域上是高頻分量；映像的雜訊大部分情況下是高頻部分；映像平緩變化部分則為低頻分量。也就是說，傅立葉變換提供另外一個角度來觀察映像，可以將映像從灰階分布轉化到頻率分布上來觀察映像的特徵。書面一點說就是，傅裡葉變換提供了一條從空域到頻率自由轉換的途徑。對影像處理而言，以下概念非常的重要：

映像高頻分量：映像突變部分；在某些情況下指映像邊緣資訊，某些情況下指雜訊，更多是兩者的混合；
低頻分量：映像變化平緩的部分，也就是映像輪廓資訊
高通濾波器：讓映像使低頻分量抑制，高頻分量通過
低通濾波器：與高通相反，讓映像使高頻分量抑制，低頻分量通過
帶通濾波器：使映像在某一部分的頻率資訊通過，其他過低或過高都抑制
還有個帶阻濾波器，是帶通的反。

模板運算與卷積定理
在時域內做模板運算，實際上就是對映像進行卷積。模板運算是影像處理一個很重要的處理過程，很多影像處理過程，比如增強/去噪（這兩個分不清楚），邊緣檢測中普遍用到。根據卷積定理，時域卷積等價與頻域乘積。因此，在時域內對映像做模板運算就等效於在頻域內對映像做濾波處理。
比如說一個均值模板，其頻域響應為一個低通濾波器；在時域內對映像作均值濾波就等效於在頻域內對映像用均值模板的頻域響應對映像的頻域響應作一個低通濾波。

映像去噪
映像去噪就是壓製圖像的噪音部分。因此，如果噪音是高頻額，從頻域的角度來看，就是需要用一個低通濾波器對映像進行處理。通過低通濾波器可以抑製圖像的高頻分量。但是這種情況下常常會造成邊緣資訊的抑制。常見的去噪模板有均值模板，高斯模板等。這兩種濾波器都是在局部地區抑製圖像的高頻分量，模糊映像邊緣的同時也抑制了雜訊。還有一種非線性濾波-中值濾波器。中值濾波器對脈衝型雜訊有很好的去掉。因為脈衝點都是突變的點，排序以後輸出中值，那麼那些最大點和最小點就可以去掉了。中值濾波對高斯噪音效果較差。

椒鹽雜訊：對於椒鹽採用中值濾波可以很好的去除。用均值也可以取得一定的效果，但是會引起邊緣的模糊。
高斯白色雜訊：白噪音在整個頻域的都有分布，好像比較困難。
岡薩雷斯版影像處理P185：算術均值濾波器和幾何均值濾波器（尤其是後者）更適合於處理高斯或者均勻的隨機雜訊。諧波均值濾波器更適合於處理脈衝雜訊。

映像增強
有時候感覺映像增強與映像去噪是一對矛盾的過程，映像增強經常是需要增強映像的邊緣，以獲得更好的顯示效果，這就需要增加映像的高頻分量。而映像去噪是為了消除映像的噪音，也就是需要抑制高頻分量。有時候這兩個又是指類似的事情。比如說，消除噪音的同時映像的顯示效果顯著的提升了，那麼，這時候就是同樣的意思了。
常見的映像增強方法有對比展開，長條圖均衡化，映像銳利化等。前面兩個是在空域進行基於像素點的變換，後面一個是在頻域處理。我理解的銳利化就是直接在映像上加像高通濾波後的分量，也就是映像的邊緣效果。對比展開和長條圖均衡化都是為了提高映像的對比，也就是使映像看起來差異更明顯一些，我想，經過這樣的處理以後，映像也應該增強了映像的高頻分量，使得映像的細節上差異更大。同時也引入了一些噪音。