完全背包問題（Java實現）

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題目

有N種物品和一個容量為V的背包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。

基本思路

這個問題非常類似於01背包問題，所不同的是每種物品有無限件。也就是從每種物品的角度考慮，與它相關的策略已並非取或不取兩種，而是有取0件、取1件、取2件……等很多種。如果仍然按照解01背包時的思路，令f[i][v]表示前i種物品恰放入一個容量為v的背包的最大權值。仍然可以按照每種物品不同的策略寫出狀態轉移方程，像這樣：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

這跟01背包問題一樣有O(VN)個狀態需要求解，但求解每個狀態的時間已經不是常數了，求解狀態f[i][v]的時間是O(v/c[i])，總的複雜度可以認為是O(V*Σ(V/c[i]))，是比較大的。

將01背包問題的基本思路加以改進，得到了這樣一個清晰的方法。這說明01背包問題的方程的確是很重要，可以推及其它類型的背包問題。但我們還是試圖改進這個複雜度。

一個簡單有效最佳化

完全背包問題有一個很簡單有效最佳化，是這樣的：若兩件物品i、j滿足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，則將物品j去掉，不用考慮。這個最佳化的正確性顯然：任何情況下都可將價值小費用高得j換成物美價廉的i，得到至少不會更差的方案。對於隨機產生的資料，這個方法往往會大大減少物品的件數，從而加快速度。然而這個並不能改善最壞情況的複雜度，因為有可能特別設計的資料可以一件物品也去不掉。

這個最佳化可以簡單的O(N^2)地實現，一般都可以承受。另外，針對背包問題而言，比較不錯的一種方法是：首先將費用大於V的物品去掉，然後使用類似計數排序的做法，計算出費用相同的物品中價值最高的是哪個，可以O(V+N)地完成這個最佳化。這個不太重要的過程就不給出虛擬碼了，希望你能獨立思考寫出虛擬碼或程式。

轉化為01背包問題求解

既然01背包問題是最基本的背包問題，那麼我們可以考慮把完全背包問題轉化為01背包問題來解。最簡單的想法是，考慮到第i種物品最多選V/c[i]件，於是可以把第i種物品轉化為V/c[i]件費用及價值均不變的物品，然後求解這個01背包問題。這樣完全沒有改進基本思路的時間複雜度，但這畢竟給了我們將完全背包問題轉化為01背包問題的思路：將一種物品拆成多件物品。

更高效的轉化方法是：把第i種物品拆成費用為c[i]*2^k、價值為w[i]*2^k的若干件物品，其中k滿足c[i]*2^k<=V。這是二進位的思想，因為不管最優策略選幾件第i種物品，總可以表示成若干個2^k件物品的和。這樣把每種物品拆成O(log V/c[i])件物品，是一個很大的改進。

但我們有更優的O(VN)的演算法。

O(VN)的演算法

這個演算法使用一維數組，先看虛擬碼：

for i=1..N    for v=0..V        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

你會發現，這個虛擬碼與P01的虛擬碼只有v的迴圈次序不同而已。為什麼這樣一改就可行呢？首先想想為什麼P01中要按照v=V..0的逆序來迴圈。這是因為要保證第i次迴圈中的狀態f[i][v]是由狀態f[i-1][v-c[i]]遞推而來。換句話說，這正是為了保證每件物品只選一次，保證在考慮“選入第i件物品”這件策略時，依據的是一個絕無已經選入第i件物品的子結果f[i-1][v-c[i]]。而現在完全背包的特點恰是每種物品可選無限件，所以在考慮“加選一件第i種物品”這種策略時，卻正需要一個可能已選入第i種物品的子結果f[i][v-c[i]]，所以就可以並且必須採用v=0..V的順序迴圈。這就是這個簡單的程式為何成立的道理。

值得一提的是，上面的虛擬碼中兩層for迴圈的次序可以顛倒。這個結論有可能會帶來演算法時間常數上的最佳化。

這個演算法也可以以另外的思路得出。例如，將基本思路中求解f[i][v-c[i]]的狀態轉移方程顯式地寫出來，代入原方程中，會發現該方程可以等價地變形成這種形式：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}

將這個方程用一維數組實現，便得到了上面的虛擬碼。

最後抽象出處理一件完全背包類物品的過程虛擬碼：

procedure CompletePack(cost,weight)    for v=cost..V        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

總結

完全背包問題也是一個相當基礎的背包問題，它有兩個狀態轉移方程，分別在“基本思路”以及“O(VN)的演算法“的小節中給出。希望你能夠對這兩個狀態轉移方程都仔細地體會，不僅記住，也要弄明白它們是怎麼得出來的，最好能夠自己想一種得到這些方程的方法。事實上，對每一道動態規劃題目都思考其方程的意義以及如何得來，是加深對動態規劃的理解、提高動態規劃功力的好方法。

 

 

 

1. public class CompletePack {
3.     public CompletePack(int V) {
4.         this.V = V;
5.         this.maxValues = new int[this.V + 1];
6.     }
8.     private int V;
10.     private int[] maxValues;
12.     public int add(Goods goods) {
14.         if (goods.getCost() > V) {
15.             return getMaxValue();
16.         }
18.         for (int v = goods.getCost(); v <= V; v++) {
19.             maxValues[v] = Math.max(maxValues[v],
20.                     maxValues[v - goods.getCost()] + goods.getValue());
21.         }
23.         return getMaxValue();
24.     }
26.     public int getMaxValue() {
27.         return maxValues[V];
28.     }
30.     /**
31.      * @param args
32.      */
33.     public static void main(String[] args) {
34.         CompletePack pack = new CompletePack(100);
35.         for (int i = 0; i < 10; i++) {
36.             Goods g1 = new Goods((int) (Math.random() * 100), (int) (Math
37.                     .random() * 100));
38.             pack.add(g1);
39.             System.out.println(g1.getCost() + "," + g1.getValue() + "   Max: "
40.                     + pack.getMaxValue());
42.         }
44.     }
46. }