【趣味數學】可以說謊的猜數字遊戲

　　又是一年找工作的高峰期，各種各樣千奇百怪的智力題也在考驗著學子們的智商，其中有些題目更是讓人腦細胞大量死亡。。。近來有同學問一道，帶有說謊的猜數字遊戲，問“元芳，這事你怎麼看？”，我這想一口鹽汽水噴死他。好了，言歸正傳。

問題描述：

　　A,B兩名玩家首先約定正整數N,然後A在心裡想一個正整數x，其中x在1和N之間，B通過提問來猜出A心中所想的數字x。B提問的格式只有一種：先列出一些數字，然後問“x”是否在這些數字中（當然B也可問：x是否在某個區間內），B可以提問任意多次，A可回答“是”或者“否”。A可以偶爾撒謊的，但是A不能連續兩次撒謊。問：B是否可以通過詢問得到A心中的所想的數字，或者給出一個集合保證A所想數字x必定落在次區間內，如果能請給出策略；如果不能請說明理由。

問題解答：

　　乍一看這個問題確實比較棘手，不知道從何開始，再次情況下，先求解簡單的特殊情況，然後逐步歸納得到一般地結論，是一個不錯的選擇。因而我們可以從最簡單的情況考慮，假設N=2，那麼A所想的數字要麼是1要麼2.這種情況下如何呢？

　　由於A不可能連續說謊，所以如果對於同一個問題連續問兩次，A兩次給出相同的答案，那麼我們是可以猜出答案的。比如：B連續兩次提問“x=2嗎？”，A如果給出答案“是是”，那麼A兩次必然都說真話，所以x=2；如果A回答“否否”，那麼兩次“否”也是真話，因而斷定x不等於2，x=1。

　　然而A給出不能的答案，B連續兩次提問”x=2嗎？“，A回答“是否”，我們只能斷定有一次說了假話，不能斷定哪一次說了假話，因而得不到任何有用的資訊。在此基礎上，如果再問“x=1嗎？”，A可以根據上次說真話還是假話來給出回答，如果上次說的假話，那麼只要保證這次說的是真話就可以了，但是我們並不知道他是否正在說真話，因而還是得不到有用的資訊；如果上次說的真話，那麼這次真話假話都可以，就可以隨便答，如果繼續逼問”x=1嗎？“，A上次說”是“，這次就說”否“，上次說”否“，這次就說”是“，我們是無論如何都不可能知道他什麼時候在撒謊的。因而如果只有兩個值，那麼B是不可能通過提問來猜出x的。

上面的過程可以通過下面這個簡單的例子看出，假設x=2。

(1)”x=2嗎？“  ”是“  ”x=2嗎？“  "否"  ”x=2嗎？“  ”是“。。。（交替回答即可）。。。。”x=1嗎？“  ”是/否“（上次說真話，這次隨便） ”x=1嗎？“  ”否/是“ 

(2)"x=2嗎?"   "否"   ”x=2嗎？“  ”是“  ”x=2嗎？“  ”否“。。。。（交替回答即可）。。。”x=1嗎？“  ”否“（上次說假，這次必須說真）  ”x=1嗎？“  ”是“

因為1和2是稱的，如果接著問”x=2嗎？“，只需要把上述（1）（2）中回答1和2的策略交換即可。

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　　N=2是不能斷定的，那麼N=3情況會是怎麼樣的呢？A只能想123中的某一個數。同樣根據A不能連續說謊兩次，我們可以對一個問題重複問2次以上，如果A的回答是相同的，那麼必然是可以得到資訊的。

例如連續問”x=3嗎？“，A的回答方式只可能是”是是“ ”否否“”是否“”否是“這四種情況。

（1）如果A回答”是是“，立刻斷定兩次都為真話，因而x=3.

（2）如果A回答”否否“，立刻斷定兩次都為真話，因而x不等於3，可排除3.

（3）如果A回答”否是“，繼續問”x=2嗎？”  A只能回答“是/否”，分情況討論：(3a)如果A回答“是”。也就是“x=3嗎？”“是”“x=2嗎？”“是”。由於兩者中至少有一真，有不可能都是真（x不能即等於2也等於3），所以兩者中必有一真一假。這樣可以得出x要麼等於2要麼等於3,因而可以排除1。(3b)如果A回答是“否”，也就是“x=3嗎？”“是”“x=2嗎？”“否”。這時如果x=2，那麼可以得出他兩次都說假話。因而可以得出x不等於2，即可以排除2.

（4）如果A回答“是否”，繼續問“x=3嗎？”，如果回答“否”，按情況（2）處理，如果回答“是”，按情況（3）處理。

　　因而通過上面的提問策略我們總是可以排除其中的一個數，在大多數情況下不能得到更多的資訊，除了情況（1）可直接得到答案。

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　　現在我們開始考慮原始問題，如果N比較大怎麼辦呢？我們可以把N分成三等分（不一定要求相等，盡量即可），這樣把上面的策略中的123，換成集合123即可，比如“x在第三個集合中嗎？”，這樣的話，我們每次可以淘汰1/3的所有數字，直到最終剩下兩個數字，就歸結為第一個小問題，不可能得到確定的某一個數字。

　　本來討論到這裡已經結束了，但是有同學說，其實這個問題Matrix67已經有討論過，並且還有更一般的結論，有興趣的同學請點擊這裡。

 

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