伽瑪函數_gamma

詞義

　　伽瑪函數(Gamma Function)作為階乘的延拓，是定義在複數範圍內的亞純函數，通常寫成Γ(x). 　　

　　當函數的變數是正整數時，函數的值就是前一個整數的階乘，或者說Γ(n+1)=n!。

公式

　　伽瑪函數運算式：Γ(x)=∫e^(-t)*t^(x-1)dt (積分的下限是0,上限是+∞) 　　

利用分部積分法(integration by parts)我們可以得到 　　Γ(x)=（x-1)*Γ(x-1) ，而容易計算得出Γ(1)=1, 　　

由此可得, 在正整數範圍有：Γ(n+1)=n! 　　

在機率的研究中有一個重要的分布叫做伽瑪分布： 　　f(x)=λe^(-λx)(λx)^(x-1)/Γ(x) x>=0 　　=0 x<0 　　

函數運算式：右圖

 
性質

　　Γ(x+1)=xΓ(x)，Γ(0)=1，Γ(1/2)=√π，對正整數n，有Γ(n+1)=n！，Γ(1-x)Γ(x)=π/sin(πx) 　　對於x>0,伽馬函數是嚴格凸函數。 　

　伽馬函數是亞純函數，再複平面上，除了零和負整數點以外，它全部解析，而伽馬函數在-k處的留數為(-1)^k/k!

斯泰林漸進式

　　英文Stirling's approximation: 　　lnΓ(x) = (x-1/2)ln(x)-x+ln(2π)/2+ΣB_{2n}/(2n(2n-1)x^{2n-1}),這裡，後面的求和中n從1到無窮大。其中 B_{2n}是貝努力數。前幾個貝努力數是B_2=1/6,B_4=-1/30,B_6=1/42,B_8=-1/30,B_10=5/66等。通常，我 們常將後面Σ中全部捨去，將它稱為斯泰林公式。

Digamma函數

　伽瑪函數的自然對數的微分稱為Digamma函數，記為Ψ(x)=d(lnΓ(x))/dx=Γ'(x)/Γ(x)。 　

　Digamma函數同調和級數相關，其中Ψ(n+1)=H_n(x)-γ=1+1/2+...+1/n-γ,其中γ=lim_{n->infty} (1+1/2+...+1/n-ln(n))是歐拉常數。

而對於任意x有 Ψ(x+1)= Ψ(x)+1/x。 　　

在複數範圍內，Digamma函數可以寫成 Ψ(x+1)=-γ+Σx/(n(n+x)).

而Digamma函數的泰勒展開式為 　　Ψ(x+1)=-γ-Σζ(n+1)(-x)^n,其中函數ζ(x)為黎曼zeta函數，是關於黎曼猜想的一個重要函數。 　

類似伽瑪函數，Digamma函數可以有漸進式: Ψ(x)=ln(x)-1/(2x)-ΣB_{2n}/(2n*x^{2n})

轉自：百度百科http://baike.baidu.com/view/4898730.htm