高斯消元 求整數解模版，高斯消整數模版

高斯消元 求整數解模版，高斯消整數模版

#include <iostream>#include <string.h>#include <cmath>using namespace std;const int maxn = 105;int equ, var; // 有equ個方程，var個變元。增廣陣行數為equ, 分別為0到equ - 1，列數為var + 1，分別為0到var.int a[maxn][maxn];int x[maxn]; // 解集.bool free_x[maxn]; // 判斷是否是不確定的變元.int free_num;void Debug(void){    int i, j;    for (i = 0; i < equ; i++)    {        for (j = 0; j < var + 1; j++)        {            cout << a[i][j] << " ";        }        cout << endl;    }    cout << endl;}//------------------------------------inline int gcd(int a, int b){    int t;    while (b != 0)    {        t = b;        b = a % b;        a = t;    }    return a;}inline int lcm(int a, int b){    return a * b / gcd(a, b);}// 高斯消元法解方程組(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮點數解，但無整數解，-1表示無解，0表示唯一解，大於0表示無窮解，並返回自由變元的個數)int Gauss(void){    int i, j, k;    int max_r; // 當前這列絕對值最大的行.         int col; // 當前處理的列.    int ta, tb, LCM, temp, free_x_num, free_index;    // 轉換為階梯陣.    col = 0; // 當前處理的列.    for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)    { // 枚舉當前處理的行.        // 找到該col列元素絕對值最大的那行與第k行交換.(為了在除法時減小誤差)        max_r = k;        for (i = k + 1; i < equ; i++)        {            if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;        }        if (max_r != k)        { // 與第k行交換.            for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);        }        if (a[k][col] == 0)        { // 說明該col列第k行以下全是0了，則處理當前行的下一列.            k--; continue;        }        for (i = k + 1; i < equ; i++)        { // 枚舉要刪去的行.            if (a[i][col] != 0)            {                LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));                ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);                if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 異號的情況是兩個數相加.                for (j = col; j < var + 1; j++)                {                    a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;                }            }        }    }    Debug();    // 1. 無解的情況: 化簡的增廣陣中存在(0, 0, ..., a)這樣的行(a != 0).    for (i = k; i < equ; i++)    { // 對於無窮解來說，如果要判斷哪些是自由變元，那麼初等行變換中的交換就會影響，則要記錄交換.        if (a[i][col] != 0) return -1;    }    // 2. 無窮解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中出現(0, 0, ..., 0)這樣的行，即說明沒有形成嚴格的上三角陣.    // 且出現的行數即為自由變元的個數.    if (k < var)    {        // 首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個.        for (i = k - 1; i >= 0; i--)        {            // 第i行一定不會是(0, 0, ..., 0)的情況，因為這樣的行是在第k行到第equ行.            // 同樣，第i行一定不會是(0, 0, ..., a), a != 0的情況，這樣的無解的.            free_x_num = 0; // 用於判斷該行中的不確定的變元的個數，如果超過1個，則無法求解，它們仍然為不確定的變元.            for (j = 0; j < var; j++)                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;            if (free_x_num > 1) continue; // 無法求解出確定的變元.            // 說明就只有一個不確定的變元free_index，那麼可以求解出該變元，且該變元是確定的.            temp = a[i][var];            for (j = 0; j < var; j++)                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出該變元.            free_x[free_index] = 0; // 該變元是確定的.        }        return var - k; // 自由變元有var - k個.    }    // 3. 唯一解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中形成嚴格的上三角陣.    // 計算出Xn-1, Xn-2 ... X0.    for (i = var - 1; i >= 0; i--)    {        temp = a[i][var];        for (j = i + 1; j < var; j++)            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 說明有浮點數解，但無整數解.        x[i] = temp / a[i][i];    }    return 0;}int main(){    int i, j;    while (~scanf("%d %d", &equ, &var))    {        memset(a, 0, sizeof(a));        memset(x, 0, sizeof(x));        memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一開始全是不確定的變元.        for (i = 0; i < equ; i++)        {            for (j = 0; j < var + 1; j++)            {                scanf("%d", &a[i][j]);            }        }//        Debug();        free_num = Gauss();        if (free_num == -1) printf("無解!\n");   else if (free_num == -2) printf("有浮點數解，無整數解!\n");        else if (free_num > 0)        {            printf("無窮多解! 自由變元個數為%d\n", free_num);            for (i = 0; i < var; i++)            {                if (free_x[i]) printf("x%d 是不確定的\n", i + 1);                else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);            }        }        else        {            for (i = 0; i < var; i++)            {                printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);            }        }        printf("\n");    }    return 0;}

高斯消元 是什？

如湛藍水晶所說. 這裡給你一個例子:
一個三元一次方程:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
第一步, 先將第一個方程除以a1, 變為:
x + b1'y + c1'z = d1'
再將它乘以a2, 與第二個方程相減(消去第二個方程中的x), 使第二個方程變為:
b2'y + c2'z = d2'
再對第三個方程如此操作, 現在整個方程組成為了:
x + b1'y + c1'z = d1'
b2'y + c2'z = d2'
b3'y + c3'z = d3'

第二步, 將第二個方程除以b2', 按以上操作, 方程組變為:
x + c1''z = d1''
y + c2''z = d2''
c3''z = d3''

第三步, 將第三個方程除以c3'', 按以上操作, 方程組變為:
x = d1'''
y = d2'''
z = d3'''

不知你看懂了麼? 歸納一下, 第一步, 把第一個方程的x係數變為1, 同時消去其餘方程中的x, 第二步, 把第二個方程的y係數變為1, 同時消去其餘方程中的y, 第三步, 把第三個方程中的z的係數變為1, 同時消去其餘方程中的z, 這樣, 第一行就是x的解, 第二行就是y的解, 第三行就是z的解. 對於任意元的一次方程組, 依此類推.
 
高斯消元法

數學上，高斯消元法（或譯：高斯消去法），是線性代數中的一個演算法，可用來為線性方程組求解，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。當用於一個矩陣時，高斯消元法會產生出一個“行梯陣式”。高斯消元法可以用在電腦中來解決數千條等式及未知數。不過，如果有過百萬條等式時，這個演算法會十分費時。一些極大的方程組通常會用疊代法來解決。亦有一些方法特地用來解決一些有特別排列的係數的方程組。