高斯消元法

數學上，高斯消元法（或譯：高斯消去法），是線性代數中的一個演算法，可用來為線性方程組求解，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。當用於一個矩陣時，高斯消元法會產生出一個“行梯陣式”。高斯消元法可以用在電腦中來解決數千條等式及未知數。不過，如果有過百萬條等式時，這個演算法會十分費時。一些極大的方程組通常會用疊代法來解決。亦有一些方法特地用來解決一些有特別排列的係數的方程組。

 

曆史　　該方法以數學家高斯命名，但最早出現於中國古籍《九章算術》，成書於約公元前150年。

例子

　　高斯消元法可用來找出下列方程組的解或其解的限制：

　　2x + y - z = 8 (L1)

　　-3x - y + 2z = -11 (L2)

　　-2x + y + 2z = -3 (L3)

　　這個演算法的原理是：

　　首先，要將L1 以下的等式中的x 消除，然後再將L2 以下的等式中的y 消除。這樣可使整毎方程組變成一個三角形似的格式。之後再將已得出的答案一個個地代入已被簡化的等式中的未知數中，就可求出其餘的答案了。

　　在剛才的例子中，我們將3/2 L1和L2相加，就可以將L2 中的x 消除了。然後再將L1 和L3相加，就可以將L3 中的x 消除。

　　我們可以這樣寫：

　　L2 + 3/2 L1 -> L2

　　L3 + L1 -> L3

　　結果就是：

　　2x + y - z = 8

　　1/2 y + 1/2 z = 1

　　2y + z = 5

　　現在將 − 4L2 和L3 相加，就可將L3 中的y 消除：

　　L3 + -4 L2 -> L3

　　其結果是：

　　2x + y - z = 8

　　1/2y + 1/2z = 1

　　-z = 1

　　這樣就完成了整個演算法的初步，一個三角形的格式(指:變數的格式而言,上例中的變數各為3,2,1個)出現了。

　　第二步，就是由尾至頭地將已知的答案代入其他等式中的未知數。第一個答案就是：

　　z = -1

　　然後就可以將z 代入L2 中，立即就可得出第二個答案：

　　y = 3

　　之後，將z 和y 代入L1 之中，最後一個答案就出來了：

　　x = 2

　　就是這樣，這個方程組就被高斯消元法解決了。

　　這種演算法可以用來解決所有線性方程組。即使一個方程組不能被化為一個三角形的格式，高斯消元法仍可找出它的解。例如在第一步化簡後，L2 及L3 中沒有出現任何y ，沒有三角形的格式，照著高斯消元法而產生的格式仍是一個行梯陣式。這情況之下，這個方程組會有超過一個解，當中會有至少一個變數作為答案。每當變數被鎖定，就會出現一個解。

　　通常人或電腦在應用高斯消元法的時候，不會直接寫出方程組的等式來消去未知數，反而會使用矩陣來計算。以下就是使用矩陣來計算的例子：

　　2 1 -1 8

　　-3 -1 2 -11

　　-2 1 2 -3

　　跟著以上的方法來運算，這個矩陣可以轉變為以下的樣子：

　　2 1 -1 8

　　0 1/2 1/2 1

　　0 0 -1 1

　　這矩陣叫做“行梯陣式”。

　　最後，可以利用同樣的演算法產生以下的矩陣，便可把所得出的解或其限制簡明地表示出來：

　　1 0 0 2

　　0 1 0 3

　　0 0 1 -1

　　最後這矩陣叫做“簡化行梯陣式”，亦是高斯－約當消元法指定的步驟。

其他應用找出逆矩陣

　　高斯消元法可以用來找出一個可逆矩陣的逆矩陣。設A 為一個N * N的矩陣，其逆矩陣可被兩個分塊矩陣表示出來。將一個N * N單位矩陣 放在A 的右手邊，形成一個N * 2N的分塊矩陣B = [A,I] 。經過高斯消元法的計算程式後，矩陣B 的左手邊會變成一個單位矩陣I ，而逆矩陣A - 1 會出現在B 的右手邊。

　　假如高斯消元法不能將A 化為三角形的格式，那就代表A 是一個無法復原的矩陣。

　　應用上，高斯消元法極少被用來求出逆矩陣。高斯消元法通常只為線性方程組求解。

計出秩的基本演算法

　　高斯消元法可應用在任何m * n的矩陣A。在不可減去某數的情況下，我們都只有跳到下一行。以一個6 * 9的矩陣作例，它可以變化為一個行梯陣式：

　　1 * 0 0 * * 0 * 0

　　0 0 1 0 * * 0 * 0

　　0 0 0 1 * * 0 * 0

　　0 0 0 0 0 0 1 * 0

　　0 0 0 0 0 0 0 0 1

　　0 0 0 0 0 0 0 0 0

　　而矩陣中的 *' 是一些數字。這個梯陣式的矩陣T 會有一些關於A的資訊：

　　A 的秩是5，因為T 有5行非0的行；

　　A 的列的向量空間，可從A 的第1、3、4、7和9列中得知，其數值在矩陣T 之中；

　　矩陣中的 *' 表示了A 的列可怎樣寫為列中的數的組合。

分析

　　高斯消元法的演算法複雜度是O(n3)；這就是說，如果係數矩陣的是n × n，那麼高斯消元法所需要的計算量大約與n3成比例。

　　高斯消元法可用在任何域中。

　　高斯消元法對於一些矩陣來說是穩定的。對於普遍的矩陣來說，高斯消元法在應用上通常也是穩定的，不過亦有例外。

虛擬碼

　　高斯消元法的其中一種虛擬碼：

　　i := 1

　　j := 1

　　while (i ≤ m and j ≤ n) do

　　Find pivot in column j, starting in row i:

　　maxi := i

　　for k := i+1 to m do

　　if abs(A[k,j]) > abs(A[maxi,j]) then

　　maxi := k

　　end if

　　end for

　　if A[maxi,j] ≠ 0 then

　　swap rows i and maxi, but do not change the value of i

　　Now A[i,j] will contain the old value of A[maxi,j].

　　divide each entry in row i by A[i,j]

　　Now A[i,j] will have the value 1.

　　for u := i+1 to m do

　　subtract A[u,j] * row i from row u

　　Now A[u,j] will be 0, since A[u,j] - A[i,j] * A[u,j] = A[u,j] - 1 * A[u,j] = 0.

　　end for

　　i := i + 1

　　end if

　　j := j + 1

　　end while

　　這個演算法和之前談及的有點兒不同，它由絕對值最大的部分開始做起，這樣可以改善演算法上的穩定性。將經過調換後的第一列作為起點，這演算法由左至右地計算。每作出以下兩個步驟，才跳到下一列：

　　1.定出每列的最後一個非0的數，將每行的數字除以該數，使到每行的第一個數成為1；

　　2.將每行的數字減去第一行的第一個數的某個倍數。

　　所有步驟完成後，這個矩陣會變成一個行梯陣式，再用代入法就可解決這個方程組。

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