網路最大流之一般增廣路方法——Ford-Fulkerson

      在該演算法中，尋找增廣路和改進網路流的方法稱為標記法。

       對於標記的過程不多加闡述，以下對標記的程式實現做下小小總結：

1：在程式中需要定義三個陣列變數分別是flag[],prev[],alpha[]，其中：

 flag[]表示頂點的狀態，其元素取值及其含義為：-1表示未標號，0表示已標號未檢查，1表示已標號已檢查

 prev[]為標號的第一個分量：指明標號是從哪一個頂點那裡得到的，以便找出可改進量

 alpha[]為標號的第二個分量，用以確定增廣路的可改進量

2：每一次的標號過程如下

（1）先將flag，prev,alpha這3個數組初始化為-1

（2）將源點初始化為已標號未檢查的頂點，即flag[0]=0,prev[0]=0,alpha[0]=INF，INF表示為無窮大；並將源點入隊列

（3）當隊列非空並且匯點沒有標號的時候，從隊列頭取出隊列的頭頂點，設這個頂點為v,v肯定為已標號未檢查的頂點；因此，檢查頂點v的正向和反向的“鄰接”頂點，如果沒有標號當前可以進行標號，則對這些頂點進行標號併入隊，這些頂點都是已標號未檢查的頂點，此後頂點v為已標號已檢查的頂點了。反覆執行這一步直到隊列為空白或者匯點已獲得標號

3：

標號完畢後，要進行調整，調整方法是：從匯點出發，通過標號的第一個分量採用“倒向追蹤”的方法，一直找到源點為止，這個過程途徑頂點和弧就構成了增廣路。可改進量為匯點的第二個分量

 

參考模版：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>#define MAX 1000#define INF 100000#define MIN(a,b) ((a)<(b) ? (a):(b))struct map//弧結構{int c,f;//容量，流量}edge[MAX][MAX];int m,n;//弧數 頂點數int flag[MAX]; //頂點的狀態，-1未標號，0已標號未檢查，1已標號已檢查int pre[MAX]; //標號的第一個分量：指明標號從哪個頂點得到，以便找出改進量int alpha[MAX]; //標號的第二個分量，可改進量βint queue[MAX]; //類比隊列int qs,qe; //隊列頭和隊列尾位置int v; //從隊列裡取出來的隊頭元素int i,j;//尋找增廣路void BFS(){memset(flag, 0xff, sizeof(flag)); //初始化為-1memset(pre, 0xff, sizeof(pre));memset(alpha, 0xff, sizeof(alpha));flag[0] = 0; //源點初始化，已標號未檢查pre[0] = 0;alpha[0] = INF;qs = qe = 0;queue[qe] = 0; //源點入隊列qe++;while(qs<qe && flag[n-1]==-1){v= queue[qs]; //取出隊列頭頂點qs++;for(i=0; i<n; i++)//檢查頂點v的正向和反向鄰接點{ if(flag[i] == -1)//頂點未標號{ if(edge[v][i].c<INF && edge[v][i].f<edge[v][i].c)//正向且未滿{ flag[i] = 0; //給頂點i標號（已標號未檢查）pre[i] = v;alpha[i] = MIN(alpha[v],edge[v][i].c-edge[v][i].f);queue[qe] = i; //頂點i入隊列qe ++;}else if(edge[i][v].c<INF && edge[i][v].f>0) //反向且有流量{flag[i] = 0; //給頂點i標號（已標號未檢查）pre[i] = -v;alpha[i] = MIN(alpha[v], edge[i][v].f);queue[qe] = i; //頂點i入隊列qe ++;}}}flag[v] = 1; //頂點i已標號已檢查}}//Ford_Fulkerson演算法void Ford_Fulkerson(){ while(1){BFS();if( alpha[n-1]==0 || flag[n-1]==-1 ) //當匯點沒有獲得標號，或者匯點調整量為0， 應該退出迴圈break;//當匯點有標號，應該進行調整int k1=n-1, k2=abs( pre[k1] );int a = alpha[n-1]; //可改進量while(1){if(edge[k2][k1].f <INF) //正向edge[k2][k1].f = edge[k2][k1].f + a;else //反向edge[k1][k2].f = edge[k1][k2].f - a;if(k2 == 0) //調整一直到源點v0break;k1 = k2;k2 = abs( pre[k2] );}alpha[n-1] = 0;}}//求最大流void Max_flow(){int maxflow = 0;for(i=0; i<n; i++){for(j=0; j<n; j++){if(i==0 && edge[i][j].f<INF)//求源點的流出量  即最大流maxflow += edge[i][j].f;if(edge[i][j].f < INF)printf("%d->%d:%d\n",i,j,edge[i][j].f);}}printf("maxflow: %d\n",maxflow);}int main(){int u,v,c,f;scanf("%d%d",&n,&m);for(i=0; i<n; i++)for(j=0; j<n; j++)edge[i][j].c = edge[i][j].f = INF;for(i=0; i<m; i++) //讀入每條弧{scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&c,&f);edge[u][v].c = c; //構造鄰接矩陣edge[u][v].f = f;}Ford_Fulkerson();Max_flow();return 0;}