【轉】最大流EK演算法

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轉自：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2011/07/26/2117636.html

 

圖-1

 

  -1所示，在這個運輸網路中，源點S和匯點T分別是1,7，各邊的容量為C(u,v)。圖中紅色虛線所示就是一個可行流。標準圖示法-2所示：

 

其中p(u,v) / c(u,v)分別表示該邊的實際流量與最大容量。

 

關於最大流

  熟悉了什麼是網路流，最大流也就很好理解了。就是對於任意的u∈V-{s},使得p(s,u)的和達到最大。上面的運輸網路中，最大流-3所示：MaxFlow=p(1,2)+p(1,3)=2+1=3。

 

  在介紹最大流問題之前，先介紹幾個概念：殘餘網路，增廣路徑，反向弧，最大流定理以及求最大流的Ford-Fulkerson方法。

殘餘網路 增廣路徑 反向弧

  觀察-4，這種狀態下它的殘餘網路-5所示：

  也許現在你已經知道什麼是殘餘網路了，對於已經找到一條從S 到T的路徑的網路中，只要在這條路徑上，把C(u,v)的值更新為C(u,v)-P(u,v)，並且添加反向弧C(v,u)。對應的增廣路徑Path為殘留網路上從S到T的一條簡單路徑。圖-4中1，2，4，7就是一條增廣路徑，當然還有1，3，4，7。

  此外在未做任何操作之前，原始的有向圖也是一個殘餘網路，它僅僅是未做任何更新而已。

 

最大流定理

  如果殘留網路上找不到增廣路徑，則當前流為最大流；反之，如果當前流不為最大流，則一定有增廣路徑。

 

Ford-Fulkerson方法

  介紹完上面的概念之後，便可以用Ford-Fulkerson方法求最大流了。為什麼叫Ford-Fulkerson方法而不是演算法，原因在於可以用多種方式實現這一方法，方式並不唯一。下面介紹一種基於廣度優先搜尋(BFS)來計算增廣路徑P的演算法：Edmonds-Karp演算法。

  演算法流程如下：

  設隊列Q：儲存當前未訪問的節點，隊首節點出隊後，成為已檢查的標點；

  Path數組：儲存當前已訪問過的節點的增廣路徑；

  Flow數組：儲存一次BFS遍曆之後流的可改進量；

  Repeat:

    Path清空；

    源點S進入Path和Q，Path[S]<-0，Flow[S]<-+∞；

    While Q非空 and 匯點T未訪問 do

        Begin

            隊首頂點u出對；

            For每一條從u出發的弧(u,v) do

                If v未訪問 and 弧(u,v) 的流量可改進；

                Then Flow[v]<-min(Flow[u],c[u][v]) and v入隊 and Path[v]<-u；

    End while

   

    If(匯點T已訪問)

    Then 從匯點T沿著Path構造殘餘網路；

  Until 匯點T未被訪問

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