轉： 單調隊列

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我們從最簡單的問題開始：

給定一個長度為N的整數數列a(i),i=0,1,...,N-1和窗長度k.

要求：

      f(i) = max{a(i-k+1),a(i-k+2),..., a(i)},i = 0,1,...,N-1

問題的另一種描述就是用一個長度為k的窗在整數數列上移動，求窗裡面所包含的數的最大值。

解法一：

很直觀的一種解法，那就是從數列的開頭，將窗放上去，然後找到這最開始的k個數的最大值，然後窗最後移一個單元，繼續找到k個數中的最大值。

這種方法每求一個f(i),都要進行k-1次的比較，複雜度為O(N*k)。

那麼有沒有更快一點的演算法呢？

解法二：

我們知道，上一種演算法有一個地方是重複比較了，就是在找當前的f(i)的時候，i的前面k-1個數其它在算f(i-1)的時候我們就比較過了。那麼我們能不能儲存上一次的結果呢？當然主要是i的前k-1個數中的最大值了。答案是可以，這就要用到單調遞減隊列。

單調遞減隊列是這麼一個隊列，它的頭元素一直是隊列當中的最大值，而且隊列中的值是按照遞減的順序排列的。我們可以從隊列的末尾插入一個元素，可以從隊列的兩端刪除元素。

1.首先看插入元素：為了保證隊列的遞減性，我們在插入元素v的時候，要將隊尾的元素和v比較，如果隊尾的元素不大於v,則刪除隊尾的元素，然後繼續將新的隊尾的元素與v比較，直到隊尾的元素大於v,這個時候我們才將v插入到隊尾。

2.隊尾的刪除剛剛已經說了，那麼隊首的元素什麼時候刪除呢？由於我們只需要儲存i的前k-1個元素中的最大值，所以當隊首的元素的索引或下標小於 i-k+1的時候，就說明隊首的元素對於求f(i)已經沒有意義了，因為它已經不在窗裡面了。所以當index[隊首元素]<i-k+1時，將隊首 元素刪除。

 

從上面的介紹當中，我們知道，單調隊列與隊列唯一的不同就在於它不僅要儲存元素的值，而且要儲存元素的索引（當然在實際應用中我們可以只需要儲存索引，而通過索引間接找到當前索引的值）。

為了讓讀者更明白一點，我舉個簡單的例子。

假設數列為：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6.N=10,k=3.

那麼我們構造一個長度為3的單調遞減隊列：

首先，那8和它的索引0放入隊列中，我們用（8，0）表示，每一步插入元素時隊列中的元素如下：

0：插入8，隊列為：（8，0）

1：插入7，隊列為：（8，0），（7，1）

2：插入12，隊列為：（12，2）

3：插入5，隊列為：（12，2），（5，3）

4：插入16，隊列為：（16，4）

5：插入9，隊列為：（16，4），（9，5）

。。。。依此類推

那麼f(i)就是第i步時隊列當中的首元素：8，8，12，12，16，16，。。。

 

poj2823  n, k分別代表數組數的個數 和 每k個數找一個最值, 輸出最值序列， 0(n)的單調隊列 ;

Window position	Minimum value	Maximum value
[1  3  -1] -3  5  3  6  7	-1	3
1 [3  -1  -3] 5  3  6  7	-3	3
1  3 [-1  -3  5] 3  6  7	-3	5
1  3  -1 [-3  5  3] 6  7	-3	5
1  3  -1  -3 [5  3  6] 7	3	6
1  3  -1  -3  5 [3  6  7]	3	7

#include <math.h>#include <iostream>const int MAX = 1e6+1;int a[MAX];   //儲存資料; int q[MAX];   //隊列;  int p[MAX];   //儲存啊a[i]中的下標; int Min[MAX]; //輸出最小; int Max[MAX]; //輸出最大; int n, k;using namespace std;void get_min(){    int i;    int head=1, tail =0;    for(i=0; i< k-1; i++)  //先把兩個入隊 ;      {        while(head <=tail &&q[tail] >= a[i])  //隊尾元素大於要輸入的數 ;             --tail;        q[++tail]=a[i];        p[tail]=i;    }        for( ;i <n; i++)    {        while(head<= tail && q[tail] >= a[i])            --tail;        q[++tail] =a[i];         p[tail]= i;        while(p[head] < i-k+1) //判斷數是否過時, 即視窗是否已經划過這個數,  從0開始計數的;         {            head++;            }        //printf("%d %d\n", i, head);        Min[i-k+1]= q[head];    }}void get_max(){    int i;    int head=1, tail =0;    for(i=0; i< k-1; i++)    {        while(head <=tail &&q[tail] <= a[i]) //隊尾元素小於要插入的值 ;             --tail;        q[++tail]=a[i];        p[tail]=i;    }        for( ; i <n; i++)    {        while(head<= tail && q[tail] <= a[i]) //隊尾元素小於要插入的值 ;              --tail;        q[++tail] =a[i];         p[tail]= i;        while(p[head] < i-k+1)                {            head++;            }        Max[i-k+1]= q[head];    }}void output(){    int i;    for(int i=0; i< n-k+1; i++)    {        if(i== 0)            printf("%d", Min[0]);         else            printf(" %d", Min[i]);    }    printf("\n");        for(int i= 0; i<n-k+1; i++)    {        if(i==0 )            printf("%d", Max[0]);        else            printf(" %d", Max[i]);    }    printf("\n");}int main(){    scanf("%d%d", &n, &k);        for(int i=0; i< n; i++)    {        scanf("%d", &a[i]);        }    get_min();    get_max();     output();    return 0;}

 

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