【轉】線性方程組求解

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§4  線性方程組的解

定理   n元線性方程組

1．   無解

2．   有唯一解

3．   有無窮多解

證   設 ，為討論方便，不妨設增廣矩陣經若干次初等行變換變成如下行最簡形矩陣

證

1 ． ，則 ，上述矩陣的第r+1 行對應矛盾方程 ，故方程組無解。

2 ． ，則上述行最簡形矩陣為

對應的方程組是

即表示方程組有唯一解。

3 ． ，則 ，對應的方程組可表示為

令 ，則解得方程組含 個參數的解：

即

由於參數可任取，故方程組有無窮多個解。

例   求解齊次線性方程組

解  

例   求解線性方程組

解  

例   設線性方程組

問 取何值時，方程組有唯一解、無解或有無窮多解？並在有無窮多解時求出通解。

解  

1 ． 時， ，方程組有唯一解；

2 ． 時， ，方程組無解；

3 ． 時， ，方程組有無窮多解，並且通解為

一些推廣：

1．   矩陣方程 有解 。

2．   ，則 。

3．   矩陣方程 只有零解 。

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