【轉】樹狀數組

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轉自：http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7429868

一、樹狀數組是幹什麼的？

       平常我們會遇到一些對數組進行維護查詢的操作，比較常見的如，修改某點的值、求某個區間的和，而這兩種恰恰是樹狀數組的強項！當然，資料規模不大的時候，對於修改某點的值是非常容易的，複雜度是O(1)，但是對於求一個區間的和就要掃一遍了，複雜度是O(N)，如果即時的對數組進行M次修改或求和，最壞的情況下複雜度是O(M*N)，當規模增大後這是划不來的！而樹狀數組幹同樣的事複雜度卻是O(M*lgN)，別小看這個lg，很大的數一lg就很小了，這個學過數學的都知道吧，不需要我說了。申明一下，看下面的文章一定不要急，只需要看懂每一步最後自然就懂了。

二、樹狀數組怎麼乾的？

        先看兩幅圖（網上找的，如果雷同，不要大驚小怪～），下面的說明都是基於這兩幅圖的，上面的叫A圖吧，下面的叫B圖：

是不是很像一顆樹？對，這就是為什麼叫樹狀數組了～先看A圖，a數組就是我們要維護和查詢的數組，但是其實我們整個過程中根本用不到a數組，你可以把它當作一個擺設！c數組才是我們全程關心和操縱的重心。先由圖來看看c數組的規則，其中c8 = c4+c6+c7+a8，c6 = c5+a6……先不必糾結怎麼做到的，我們只要知道c數組的大致規則即可，很容易知道c8表示a1～a8的和，但是c6卻是表示a5～a6的和，為什麼會產生這樣的區別的呢？或者說發明她的人為什麼這樣區別對待呢？答案是，這樣會使操作更簡單！看到這相信有些人就有些感覺了，為什麼複雜度被lg了呢？可以看到，c8可以看作a1～a8的左半邊和+右半邊和，而其中左半邊和是確定的c4，右半邊其實也是同樣的規則把a5～a8一分為二……繼續下去都是一分為二直到不能分，可以看看B圖。怎麼樣？是不是有點二分的味道了？對，說白了樹狀數組就是巧妙的利用了二分，她並不神秘，關鍵是她的巧妙！

       她又是怎樣做到不斷的一分為二呢？說這個之前我先說個叫lowbit的東西，lowbit(k)就是把k的二進位的高位1全部清空，只留下最低位的1,比如10的二進位是1010,則lowbit(k)=lowbit(1010)=0010(2進位)，介於這個lowbit在下面會經常用到，這裡給一個非常方便的實現方式，比較普遍的方法lowbit(k)=k&-k，這是位元運算，我們知道一個數加一個負號是把這個數的二進位取反+1，如-10的二進位就是-1010=0101+1=0110，然後用1010&0110，答案就是0010了！明白了求解lowbit的方法就可以了，繼續下面。介於下面討論十進位已經沒有意義（這個世界本來就是二進位的，人非要主觀的構建一個十進位），下面所有的數沒有特別說明都當作二進位。

       上面那麼多文字說lowbit，還沒說它的用處呢，它就是為了聯絡a數組和c數組的！ck表示從ak開始往左連續求lowbit(k)個數的和，比如c[0110]=a[0110]+a[0101]，就是從110開始計算了0010個數的和，因為lowbit(0110)=0010，可以看到其實只有低位的1起作用，因為很顯然可以寫出c[0010]=a[0010]+a[0001]，這就為什麼我們任何數都只關心它的lowbit，因為高位不起作用（基於我們的二分規則它必須如此！），除非除了高位其餘位都是0，這時本身就是lowbit。

既然關係建立好了，看看如何?a某一個位置資料跟改的，她不會直接改的（開始就說了，a根本不存在），她每次改其實都要維護c數組應有的性質，因為後面求和要用到。而維護也很簡單，比如更改了a[0011]，我們接著要修改c[0011],c[0100],c[1000]，這是很容易從圖上看出來的，但是你可能會問，他們之間有申明必然聯絡嗎？每次求解總不能總要拿圖來看吧？其實從0011——>0100——>1000的變化都是進行“去尾”操作，又是自己造的詞--‘‘，我來解釋下，就是把尾部應該去掉的1都去掉轉而換到更高位的1,記住每次變換都要有一個高位的1產生，所以0100是不能變換到0101的，因為沒有新的高位1產生，這個變換過程恰好是可以藉助我們的lowbit進行的，k +=lowbit(k)。

       好吧，現在更新的次序都有了，可能又會產生新的疑問了：為什麼它非要是這種關係啊？這就要追究到之前我們說c8可以看作a1～a8的左半邊和+右半邊和……的內容了，為什麼c[0011]會影響到c[0100]而不會影響到c[0101]，這就是之前說的c[0100]的求解實際上是這樣分段的區間 c[0001]~c[0001] 和區間c[0011]~c[0011]的和，數字太小，可能這樣不太理解，在比如c[0100]會影響c[1000]，為什麼呢？因為c[1000]可以看作0001～0100的和加上0101~1000的和，但是0101位置的數變化並會直接作用於c[1000]，因為它的尾部1不能一下在跳兩級在產生兩次高位1,是通過c[0110]間接影響的，但是，c[0100]卻可以跳一級產生一次高位1。

         可能上面說的你比較繞了，那麼此時你只需注意：c的構成性質（其實是分組性質）決定了c[0011]只會直接影響c[0100]，而c[0100]只會直接影響[1000]，而下表之間的關係恰好是也必須是k +=lowbit(k)。此時我們就是寫出跟新維護樹的代碼：

1 void add(int k,int num)2 {3     while(k<=n)4     {5         tree[k]+=num;6         k+=k&-k;7     }8 }

有了上面的基礎，說求和就比較簡單了。比如求0001～0110的和就直接c[0100]+c[0110]，分析方法與上面的恰好逆過來，而且寫法也是逆過來的，具體就不累述了：

 

int read(int k)//1~k的區間和{    int sum=0;    while(k)    {        sum+=tree[k];        k-=k&-k;    }    return sum;}

 

三、總結一下吧

          首先，明白樹狀數組所白了是按照二分對數組進行分組；維護和查詢都是O(lgn)的複雜度，複雜度取決於最壞的情況，也是O(lgn);lowbit這裡只是一個技巧，關鍵在於明白c數組的構成規律;分析的過程二進位一定要深入人心，當作心目中的十進位。

 

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