格雷碼那點事——遞迴非遞迴實現

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簡介

　　在一組數的編碼中，若任意兩個相鄰的代碼只有一位位元不同，則稱這種編碼為格雷碼（Gray Code），另外由於最大數與最小數之間也僅一位元不同，即“首尾相連”，因此又稱迴圈碼或反射碼。在數字系統中，常要求代碼按一定順序變化。例如，按自然數遞增計數，若採用8421碼，則數0111變到1000時四位均要變化，而在實際電路中，4位的變化不可能絕對同時發生，則計數中可能出現短暫的其它代碼（1100、1111等）。在特定情況下可能導致電路狀態錯誤或輸入錯誤。使用格雷碼可以避免這種錯誤。格雷碼有多種編碼形式。

　　格雷碼（Gray Code）曾用過Grey Code、葛萊碼、格萊碼、戈萊碼、迴圈碼、反射二進位碼、最小差錯碼等名字，它們有的不對，有的易與其它名稱混淆，建議不要再使用這些曾用名。

　格雷碼是一種具有反射特性和迴圈特性的單步自補碼，其迴圈和單步特性消除了隨機取數時出現重大錯誤的可能，其反射和自補特性使得對其進行求反操作也非常方便，所以，格雷碼屬於一種可靠性編碼，是一種錯誤最小化的編碼方式，因此格雷碼在通訊和測量技術中得到廣泛應用。

產生格雷碼　

　　格雷碼(Gray Code)是一個數列集合，每個數使用二進位來表示，假設使用n位元來表示每個數字，任兩個數之間只有一個位元值不同。　　例如以下為3位元的格雷碼： 000 001 011 010 110 111 101 100 。　　如果要產生 n位元的格雷碼，那麼 格雷碼的個數為2^n. 　　假設原始的值從0開始，格雷碼產生的規律是：第一步，改變最右邊的位元值；第二步，改變右起第一個為1的位元的左邊位元；第三步，第四步重複第一步和第二步，直到所有的格雷碼產生完畢（換句話說，已經走了(2^n) - 1 步）。 用一個 例子來說明：　　假設產生3位元的格雷碼，原始值位 000　　第一步：改變最右邊的位元值： 001　　第二步：改變右起第一個為1的位元的左邊位元： 011　　第三步：改變最右邊的位元值： 010　　第四步：改變右起第一個為1的位元的左邊位元： 110　　第五步：改變最右邊的位元值： 111　　第六步：改變右起第一個為1的位元的左邊位元： 101　　第七步：改變最右邊的位元值： 100 　　如果按照這個規則來產生格雷碼，是沒有問題的，但是這樣做太複雜了。如果仔細觀察格雷碼的結構，我們會有以下發現：　　1、除了最高位（左邊第一位），格雷碼的位元完全上下對稱（看下面列表）。比如第一個格雷碼與最後一個格雷碼對稱（除了第一位），第二個格雷碼與倒數第二個對稱，以此類推。　　2、 最小的重複單元是 0 , 1。

000
001
011
010
110
111
101
100

　　所以，在實現的時候，我們完全可以利用遞迴，在每一層前面加上0或者1，然後就可以列出所有的格雷碼。　　比如：　　第一步：產生 0, 1 兩個字串。　　第二步：在第一步的基礎上，每一個字串都加上0和1，但是每次只能加一個，所以得做兩次。這樣就變成了 00,01,11,10 （注意對稱）。　　第三步：在第二步的基礎上，再給每個字串都加上0和1，同樣，每次只能加一個，這樣就變成了 000,001,011,010,110,111,101,100。　　好了，這樣就把3位元格雷碼產生好了。　　如果要產生4位元格雷碼，我們只需要在3位元格雷碼上再加一層0,1就可以了： 0000,0001,0011,0010,0110,0111,0101,0100,1100,1101,1110,1010,0111,1001,1000. 　　也就是說， n位元格雷碼是基於n-1位元格雷碼產生的。

 

演算法實現

1、遞迴實現

/**     * 遞迴產生二進位格雷碼     * 思路:1、獲得n-1位產生格雷碼的數組     *      2、由於n位產生的格雷碼位元是n-1的兩倍，故只要在n為格雷碼的前半部分加0，後半部分加1即可。     * @param n 格雷碼的位元     * @return 產生的格雷碼數組     */    public static String[] GrayCode(int n) {    //數組的大小是2的n次方，因為n位的格雷碼有2的n次方種排列    String[] grayCodeArr = new String[(int)Math.pow(2, n)];        if(n < 1)    {        System.out.println("你輸入的格雷碼位元有誤！");    }        if(1 == n)    {        grayCodeArr[0] = "0";        grayCodeArr[1] = "1";        return grayCodeArr;    }        //n-1 位格雷碼的產生方式    String[] before = GrayCode(n-1);        for(int i = 0 ; i < before.length ; i++){        grayCodeArr[i] = "0" + before[i];        grayCodeArr[grayCodeArr.length -1 - i] = "1" + before[i];    }        return grayCodeArr;        }

 

2、非遞迴實現

  /**     * 非遞迴產生二進位格雷碼     * 思路:1、獲得n-1位產生格雷碼的數組     *      2、由於n位產生的格雷碼位元是n-1的兩倍，故只要在n為格雷碼的前半部分加0，後半部分加1即可。     * @param n 格雷碼的位元     * @return 產生的格雷碼數組     */    public static String[] GrayCode2(int n)    {            int num = (int)Math.pow(2, n);//根據輸入的整數，計算出此Gray序列大小    String[] s1 = {"0","1"};//第一個Gray序列        if(n < 1)    {        System.out.println("你輸入的格雷碼位元有誤！");    }        for(int i=2;i<=n;i++){//迴圈根據第一個Gray序列，來一個一個的求    int p = (int)Math.pow(2, i);//到了第幾個的時候，來計算出此Gray序列大小    String[] si = new String[p];    for(int j=0;j<p;j++){//迴圈根據某個Gray序列，來一個一個的求此序列    if(j<(p/2)){    si[j] = "0" + s1[j];//原始序列前面加上"0"    }else{    si[j] = "1" + s1[p-j-1];//原始序列反序，前面加上"1"    }    }    s1 = si;//把求得的si，附給s1,以便求下一個Gray序列    }        return s1;    }

 

3、測試

public static void main(String[] args) {        System.out.println("————————————————————遞迴實現————————————————");    String[] strArr = GrayCode(4);    for(int i = 0 ; i < strArr.length ; i++)    {        System.out.println(strArr[i]);    }        System.out.println("——————————————————非遞迴實現————————————————");    String[] strArr2 = GrayCode2(4);    for(int i = 0 ; i < strArr2.length ; i++)    {        System.out.println(strArr2[i]);    }    }

 

4、結果：

————————————————————遞迴實現————————————————0000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000——————————————————非遞迴實現————————————————0000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000

　　致謝：感謝您的耐心閱讀！

格雷碼那點事——遞迴非遞迴實現