貪心演算法 – 最小產生樹 Prim演算法

一個無向帶權圖G=(V,E)，其中n個頂點Vertex，以及串連各個頂點之間的邊Edge，可能有些頂點之間沒有邊，每條邊上的權值都是非負值。

產生樹：

G的一個子圖，包含了所有的Vertex，和部分的Edge。

最小產生樹：

所有的產生樹中，各條Edge上的權值總和最小的一個。

例子：設計通訊網路時，各個城市之間鋪設線路，最經濟的方案。

最小產生樹性質：

G=(V,E)，

S是V的真子集，

如果u在S中，v在V-S中，且(u,v)是圖的一條邊，稱之為特殊邊，且(u,v)是所有特殊邊中最短的，

那麼，(u,v)這條邊一定在最小產生樹中。

Prim演算法：

任意指定一個頂點作為起始點，放在S中。

每一步將最短的特殊邊放入S中，需要n-1步，即可把所有的其他的點放入S中。演算法結束。

對於這個圖，Prim演算法的過程為：

代碼實現如下：

/** * 最小產生樹 minimum spanning tree * @author xuefeng * */public class MST {public static final int NOT_REACHED = -1;/** * @param E n*n */public static void prim(int[][] E) {int n = E.length;boolean[] S = new boolean[n];int[] dist = new int[n];int[] prev = new int[n];S[0] = true; // 選取頂點1作為起始點for (int i = 1; i < n; i++) {dist[i] = E[0][i];prev[i] = 0;S[i] = false;}int min = -1, minV = -1;for (int i = 1; i < n; i++) {min = -1;minV = -1;// 選擇離S中頂點最近的點for (int j = 1; j < n; j++) {if (!S[j] && dist[j] != -1 && (min == -1 || dist[j] < min)) {min = dist[j];minV = j;}}if (minV == -1)continue;S[minV] = true;// S中多了個點，需要改變S離外面的點的最短距離for (int j = 1; j < n; j++) {if (!S[j] && isReachable(E, minV, j)&& (dist[j] == -1 || E[minV][j] < dist[j])) {dist[j] = E[minV][j];prev[j] = minV;}}// 輸出測試結果for (int j = 0; j < n; j++) {if (S[j]) {System.out.print((j + 1) + " ");}}System.out.println();}}private static boolean isReachable(int[][] E, int v1, int v2) {return E[v1][v2] != NOT_REACHED;}public static void main(String[] args) {int[][] E = { { -1, 6, 1, 5, -1, -1 }, { 6, -1, 5, -1, 3, -1 },{ 1, 5, -1, 5, 6, 4 }, { 5, -1, 5, -1, -1, 2 },{ -1, 3, 6, -1, -1, 6 }, { -1, -1, 4, 2, 6, -1 } };prim(E);}}

輸出為：

1 3 1 3 6 1 3 4 6 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5 6 

可由prev數組構造出最小產生樹。

演算法複雜度為O(n^2)