HDU 1558：Segment set， 計算幾何+並查集

題目連結：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1558

題目類型： 計算集合 ， 並查集

題目：

A segment and all segments which are connected with it compose a segment set. The size of a segment set is the number of segments in it. The problem is to find the size of some segment set.

Sample Input

1 10 P 1.00 1.00 4.00 2.00 P 1.00 -2.00 8.00 4.00 Q 1 P 2.00 3.00 3.00 1.00 Q 1 Q 3 P 1.00 4.00 8.00 2.00 Q 2 P 3.00 3.00 6.00 -2.00 Q 5

Sample Output

1 2 2 2 5

題目大意：

輸入幾條線段，線段由座標上的兩點組成， 每一點有x，y，代表x軸和y軸對應的值。

當輸入為Q  k時， 輸出與第k條直線直接或間接有相連的線段條數。

分析與總結：

這一題是並查集比較基礎的應用， 但是這題的關鍵在於判斷兩條直線是否相交。

斷兩線段是否相交的方法：     我們分兩步確定兩條線段是否相交：

1. 快速排斥實驗：設以線段 P1P2 為對角線的矩形為R， 設以線段 Q1Q2 為對角線的矩形為T，如果R和T不相交，顯然兩線段不會相交。

2. 跨立實驗：如果兩線段相交，則兩線段必然相互跨立對方。 若P1P2跨立Q1Q2 ，則向量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位於向量( Q2 - Q1 ) 的兩側，即： (( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 )) * (( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 )) < 0。（利用了向量叉積） 當 ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 時，說明 ( P1 - Q1 ) 和 ( Q2 - Q1 )共線，但是因為已經通過快速排斥實驗，所以 P1 一定線上段 Q1Q2上；同理，( Q2 - Q1 ) ×(P2 - Q1 ) = 0 說明 P2 一定線上段 Q1Q2上。

所以判斷P1P2跨立Q1Q2的依據是：(( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 )) * (( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 )) >= 0。 同理判斷Q1Q2跨立P1P2的依據是：(( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 )) * (( P2 - P1 ) × ( Q2 - P1 )) >= 0。

具體情況如下圖所示：（這裡利用了向量叉積來判斷兩個向量是否位於另一向量的兩側） 注意：只有同時滿足以上兩個條件，即相互跨立對方，兩個線段才相交。