hdu 2062 Subset sequence 解題報告

 

hdu 2062 Subset sequencehdu 2062傳送門：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2062

 

Problem Analyse

	考慮一個集合 An = { 1, 2, ..., n}。比如，A1={1}，A3={1,2,3}。我們稱一個非空子集元素的排列為一個子集序列。對所有的子序列按字典順序排序。你的任務就是給出第m個子序列。

 

 

Algorithm Analyse

首先我們來看看An一共有多少個子集。 n=1時,只有{1}一個子集合 n=2時，就有: {1}, {2}, {1, 2}, {2, 1} 4個子集合。 n=3時，有 {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2}, {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}   也許你發現規律了。An子集合的個數為: C1n·A11 + C2n·A22 + ... + Cnn·Ann 這個公式是對的。但我們換個角度看。 n=3時，有 {1} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 3} {1, 3, 2} {2} {2, 1} {2, 1, 3} {2, 3} {2, 3, 1} {3} {3, 1} {3, 1, 2} {3, 2} {3, 2, 1}   不難發現，An可以按首數字分成n組，而每組裡除了第一項，剩下的就是An-1的子集合了。 ∴f(n) = n[f(n-1) + 1] f(1) = 1 我們拿測試資料3 10來做個示範，解釋一下怎麼求解。 因為n=3，所以開始數組裡1、2、3三個數。 我們知道，n=2時，有4種排列，所以上面n=3可以分成三組，每組5個(加上空集)。 因此第10個在第二組裡。所以第一個是2，把2輸出。原來的數組裡刪除2，變成1、3兩個數。然後10 - (2 - 1) * 5 = 5，即它在第2組的第5個。 減去首個空集合，5 - 1 = 4 ≠ 0，表示2後面還有數字。 因為A1 = 1是，所以再第2組裡又可以分成兩組，每組2個(加上空集)。 所以，4在第2組，剩下的數組中，第二個元素是3，所以輸出3。再把數組裡的3刪除，剩下1一個數。 然後4 - (2 - 1) * 2 = 2，既它是第2組的第2個。 減去首個空集，2 - 1 = 1 ≠ 0，表示2後面還有數字。 按上面的方法繼續下去，直到n = 0 或 後面為空白集為止。 最後輸出數組裡的第1個元素，就得到2 3 1，就是解了。 從上面的計算可以看出來，本題目的關鍵是先求的An中每一組的個數g(n) 不難得出:g(n) = f(n) / n ∵f(n) = n[f(n-1) + 1] ∴g(n) = n[f(n-1) + 1] / n = f(n-1) + 1 ∵f(n-1) = (n-1) * g(n-1) ∴g(n) = (n-1) * g(n-1) + 1

 

 

代碼如下：

#include <stdio.h>int main(){    int i,n,t;//n：一共多少元素<=20。t：所求子集位於分組後的第幾組    __int64 m;//位於第幾個子集    __int64 c[21]={0};//後面將子集分組後平均每組個數，如:c[2]表示n=2時的分組每組中子集數    int s[21];//後面將子集按字典序分組後每組的初始首元素,組數<=20    for (i=1;i<21;i++)        c[i]=c[i-1]*(i-1)+1;//推匯出來的c[n]=(n-1)*c[n-1]+1    while (scanf("%d%I64d",&n,&m)!=EOF)    {        for(i=0;i<21;i++)            s[i]=i;//每迴圈一次就重新歸位每組首元素        while (n>0&&m>0)        {            t=m/c[n]+(m%c[n]>0?1:0);            if(t>0)//得到第m個子集在分組後的第t組,若t>0            {                printf("%d",s[t]);                for(i=t;i<=n;i++)                    s[i]=s[i+1];//或s[i]+=1,我們發現:第n組中，第2個元素在第n個時變為它的下一個數                m-=((t-1)*c[n]+1);//減去(t-1組總子集數+1）,m變為表示在剩餘子集中位於第幾個                putchar(m==0?'\n':' ');            }            n--;//依次遞減,直到執行上面的if代碼或退出        }    }    return 0;}

 

具體操作步驟如下：

程式必需因素：

    1、每組子集的個數c[n];

    2、每組子集的首元素;

    3、所求子集位於當前分組後的第幾組中t

    4、所求子集位於該組的第幾個

主要遞迴步驟：

1、求出所在組t

2、輸出所在組t的首元素s[t](同一組首元素相同)

3、將該子集的下一個元素到最後一個的值+1,注意這個規律：在第i組，首元素為i，刪除首元素後，在第i個子集後首元素均變大+1.

程式步驟執行個體解說：

 

n=3，m=10時，有
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
{1, 3}
{1, 3, 2}
{2}
{2, 1}
{2, 1, 3}
{2, 3}
{2, 3, 1}
{3}
{3, 1}
{3, 1, 2}
{3, 2}
{3, 2, 1}

1。求得t=2
先輸出第2組首元素2，再去掉前面不需要的分組，和首元素,剩下唯一一組子集：
因此此時m-=((t-1)*c[n]+1)=4
//{}
{1}
{1, 3}
{3}
{3, 1}
此時的s[t~~n]均變大+1
2。然後再分成兩組， t=m/c[n]+(m%c[n]>0?1:0)求得當前在第t=2組
輸出第2組首元素3，再去掉前面不需要的分組，和首元素,剩下唯一一組子集
因此此時m-=((t-1)*c[n]+1)=1
//{}
{1}
3。然後剩最後一組， t=m/c[n]+(m%c[n]>0?1:0)求得當前在第t=1組
輸出第1組首元素1，和首元素,剩下唯一一組子集
{}//空集
因此此時m-=((t-1)*c[n]+1)=0
最後退出。