HDU 6030 Happy Necklace

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題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6030

題意：給出紅藍兩種，然後排成一個字串，要求在每一個長度為素數的區間裡面是的r(red)的數量不小與b(blue)的數量;

解法：痛點在於如何找規律。容易推知只要長度為2或3的字串滿足r>=b，那麼之後的素數（5、7......）都會滿足r>=b。

假設現在有一個n字元的串，其方案數為f(n)，考慮一下能否從f(n-1)推得f(n)？

情況1.如果這個串最後一個字元是r，那麼倒數第二個既可以是r也可以是b。所以此時f(n) = f(n-1).

情況2.如果這個串最後一個字元是b，那麼倒數第二個一定是r才可以滿足“長度為2且r>=b”的條件，那麼倒數第三個就一定是r，否則不滿足“長度為3且r>=b”的條件。所以此時f(n) = f(n-3)

綜上，可得f(n) = f(n-1) + f(n-3).

由於輸入量巨大（1018），所以用數組儲存遞推結果是不可行的，而每次遞推又太慢，所以只能用矩陣快速冪來解決。

由於遞推式中出現f(n-3),所以傳遞矩陣一定是3*3的。

經過推導可得傳遞矩陣為

1 1 0

0 0 1

1 0 0

AC：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>#include <vector>using namespace std;typedef long long ll;const ll m = 1000000000+7;const int N = 4;struct mar{    ll a[N][N];};//結構化矩陣mar mul(mar x,mar y){    mar temp;    for(int i = 1 ; i < N ; i++)        for(int j = 1 ; j < N ; j++)        temp.a[i][j] = 0;    for(int i = 1 ; i < N ; i++)        for(int j = 1 ; j < N ; j++)                for(int k = 1 ; k < N ; k++)                    temp.a[i][j] += (x.a[i][k]%m*y.a[k][j]%m)%m;    return temp;}//矩陣乘法mar quickpow(mar a,ll n){    mar res;    res.a[1][1] = 1; res.a[1][2] = 0; res.a[1][3] = 0;    res.a[2][1] = 0; res.a[2][2] = 1; res.a[2][3] = 0;    res.a[3][1] = 0; res.a[3][2] = 0; res.a[3][3] = 1;//初始化為單位矩陣    while(n)    {        if(n&1) res = mul(res,a);        a = mul(a,a);        n>>=1;    }    return res;}//矩陣快速冪核心代碼int main(){    int t;    ll n;    cin >> t;    while(t--)    {        cin >> n;        if(n==2) {cout << 3 <<endl;continue;}        mar A;        A.a[1][1] = 1; A.a[1][2] = 0; A.a[1][3] = 1;        A.a[2][1] = 1; A.a[2][2] = 0; A.a[2][3] = 0;        A.a[3][1] = 0; A.a[3][2] = 1; A.a[3][3] = 0;//構造傳遞矩陣        mar res = quickpow(A,n-2);        cout <<  ((res.a[1][1] + res.a[1][2] + res.a[1][3]) % m+ (res.a[2][1] + res.a[2][2] + res.a[2][3]) % m+(res.a[3][1] + res.a[3][2] + res.a[3][3]) % m)%m <<endl;    }    return 0;}

 

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