內部排序之堆排序

      堆排序（Heap Sort）只需要一個記錄大小的輔助空間，每個待排序的記錄僅佔有一個儲存空間。

   （1）基本概念
    a）堆：設有n個元素的序列：
          {k1, k2, ..., kn}

       對所有的i=1,2,...,(int)(n/2)，當滿足下面關係：
                                                                  ki≤k2i，ki≤k2i+1

                                                  或            ki≥k2i，ki≥k2i+1

        這樣的序列稱為堆。
        堆的兩種類型：
                 根結點最小的堆----小根堆。
                 根結點最大的堆----大根堆。
        根結點稱為堆頂，即：在一棵完全二叉樹中，所有非葉結點的值均小於（或均大於）左、右孩子的值。
        b）堆排序：是一種樹型選擇排序，特點是，在排序過程中，把R[1..n]看成是一個完全二叉樹的儲存結構，利用完全二叉樹雙親結點和孩子結點的內在關係，在當前無序區中選擇關鍵字最大（最小）的記錄。
    （2）堆排序步驟：
     1、從k-1層的最右非葉結點開始，使關鍵字值大（或小）的記錄逐步向二叉樹的上層移動，最大（或小）關鍵字記錄成為樹的根結點，使其成為堆。
     2、逐步輸出根結點，令r[1]=r[i](i=n,,n-1,...,2)，在將剩餘結點調整成堆。直到輸出所有結點。我們稱這個自堆頂到葉子的調整過程為“篩選”。
    （3）要解決的兩個問題：
      １、如何由一個無序序列建成一個堆；
      ２、輸出一個根結點後，如何將剩餘元素調整成一個堆。
      將一個無序序列建成一個堆是一個反覆“篩選”的過程。若將此序列看成是一個完全二叉樹，則最後一個非終端結點是第floor(n/2)個元素，由此“篩選”只需從第floor(n/2)個元素開始。
      堆排序中需一個記錄大小的輔助空間，每個待排的記錄僅佔有一個儲存空間。堆排序方法當記錄較少時，不值得提倡。當n很大時，效率很高。堆排序是不穩定的。
      堆排序的演算法和篩選的演算法如第二節所示。為使排序結果是非遞減有序排列，我們在排序演算法中先建一個“大頂堆”，即先選得一個關鍵字為最大的記錄並與序列中最後一個記錄交換，然後對序列中前n-1個記錄進行篩選，重新將它調整為一個“大頂堆”，然後將選得的一個關鍵字為最大的記錄（也就是第一個元素）與當前最後一個記錄交換（全域看是第n-1個），如此往複，直到排序結束。由到，篩選應按關鍵字較大的孩子結點向下進行。

      堆排序的演算法描述如下：

     

 

     用C語言代碼實現如下：

#include "iostream"using namespace std;#define MAXSIZE 20typedef struct{int key;//其他資料資訊}RedType;typedef struct{RedType r[MAXSIZE+1];int length;}Sqlist;typedef Sqlist HeapType;  //堆採用順序表格儲存體表示void HeapAdjust(HeapType &H,int s,int m)   //已知H.r[s...m]中記錄的關鍵字出H.r[s].key之外均滿足堆的定義，本函數調整H.r[s]的關鍵字，使H.r[s...m]成為一個大頂堆（對其中記錄的關鍵字而言）{int j;RedType rc;rc=H.r[s];for(j=2*s;j<=m;j*=2)   //沿key較大的孩子結點向下篩選{if(j<m && (H.r[j].key<H.r[j+1].key))     //j為key較大的記錄的下標++j;if(rc.key>=H.r[j].key)           //rc應插入在位置s上break;H.r[s]=H.r[j];      //將左、右孩子較大的結點與父節點進行交換，建成大頂堆s=j;}H.r[s]=rc;             //插入}void HeapSort(HeapType &H)      //對順序表H進行堆排序{int i;for(i=H.length/2;i>0;--i)   //由一個無序序列建成一個大頂堆，將序列看成是一個完全二叉樹，則最後一個非終端節點是第n/2個元素HeapAdjust(H,i,H.length);for(i=H.length;i>1;--i){H.r[0]=H.r[1];   //將堆頂記錄和當前未經排序的子序列H.r[1...i]中最後一個記錄相互交換H.r[1]=H.r[i];H.r[i]=H.r[0];HeapAdjust(H,1,i-1);    //將H.r[1...i-1]重新調整為大頂堆}}//HeapSortvoid InputL(Sqlist &L){int i;printf("Please input the length:");scanf("%d",&L.length);printf("Please input the data needed to sort:\n");for(i=1;i<=L.length;i++)    //從數組的第1個下標開始儲存，第0個下標作為一個用於交換的臨時變數scanf("%d",&L.r[i].key);}void OutputL(Sqlist &L){int i;printf("The data after sorting is:\n");for(i=1;i<=L.length;i++)printf("%d ",L.r[i].key);printf("\n");}int main(void){Sqlist H;InputL(H);HeapSort(H);OutputL(H);system("pause");return 0;}

        不使用上面的結構體的另外一種方法如下：

/**堆排序*/#include "iostream"using namespace std;#define N 10int array[N];void man_input(int *array){int i;for(i=1;i<=N;i++){printf("array[%d]=",i);scanf("%d",&array[i]);}}void mySwap(int *a,int *b)//交換{int temp;temp=*a;*a=*b;*b=temp;}void heap_adjust(int *heap,int root,int len)     //對堆進行調整，使下標從root到len的無序序列成為一個大頂堆{int i=2*root;int t=heap[root];while(i<=len){if(i<len){if(heap[i]<heap[i+1])i++;}if(t>=heap[i])break;heap[i/2]=heap[i];i=2*i;}heap[i/2]=t;}void heapSort(int *heap,int len)      //堆排序{int i;for(i=len/2;i>0;i--)    //由一個無序序列建成一個大頂堆，將序列看成是一個完全二叉樹，則最後一個非終端節點是第len/2個元素{heap_adjust(heap,i,len);}for(i=len;i>=1;i--){mySwap(heap+i,heap+1);    //將堆頂記錄與最後一個記錄相互交換heap_adjust(heap,1,i-1);   //將下標為1~i-1的記錄重新調整為大頂堆}}void print_array(int *array,int n){int k;for(k=1;k<n+1;k++){printf("%d\t",array[k]);}}int main(void){man_input(array);heapSort(array,N);printf("\nAfter sorted by the heap_sort algorithm:\n");        print_array(array,N);   //列印堆排序結果system("pause");return 0;}