如何用Python來實現線性迴歸呢?__Python

今天，讓我們來談談線性迴歸。沒錯，作為資料科學界元老級的模型，線性迴歸幾乎是所有資料科學家的入門必修課。拋開涉及大量數統的模型分析和檢驗不說，你真的就能熟練應用線性迴歸了麼?未必!

“寶刀不老”的線性迴歸

時至今日，深度學習早已成為資料科學的新寵。即便往前推10年，SVM、boosting等演算法也能在準確率上完爆線性迴歸。

為什麼我們還需要線性迴歸呢?

一方面，線性迴歸所能夠類比的關係其實遠不止線性關係。線性迴歸中的“線性”指的是係數的線性，而通過對特徵的非線性變換，以及廣義線性模型的推廣，輸出和特徵之間的函數關係可以是高度非線性。另一方面，也是更為重要的一點，線性模型的易解釋性使得它在物理學、經濟學、商學等領域中佔據了難以取代的地位。

那麼，如何用Python來實現線性迴歸呢?

由於機器學習庫scikit-learn的廣泛流行，常用的方法是從該庫中調用linear_model來擬合資料。雖然這可以提供機器學習的其他流水線特徵(例如：資料歸一化，模型係數正則化，將線性模型傳遞到另一個下遊模型)的其他優點，但是當一個資料分析師需要快速而簡便地確定迴歸係數(和一些基本相關統計量)時，這通常不是最快速簡便的方法。

下面，我將介紹一些更快更簡潔的方法，但是它們所提供資訊量和建模的靈活性不盡相同。

8種方法實現線性迴歸

方法一：Scipy.polyfit( ) or numpy.polyfit( )

這是一個最基本的最小二乘多項式擬合函數(least squares polynomial fit function)，接受資料集和任何維度多項式函數(由使用者指定)，並返回一組使平方誤差最小的係數。這裡給出函數的詳細描述。對於簡單的線性迴歸來說，可以選擇1維函數。但是如果你想擬合更高維的模型，則可以從線性特徵資料中構建多項式特徵並擬合模型。

方法二：Stats.linregress( )

這是一個高度專業化的線性迴歸函數，可以在SciPy的統計模組中找到。然而因為它僅被用來最佳化計算兩組測量資料的最小二乘迴歸，所以其靈活性相當受限。因此，不能使用它進行廣義線性模型和多元迴歸擬合。但是，由於其特殊性，它是簡單線性迴歸中最快速的方法之一。除了擬合的係數和截距項之外，它還返回基本統計量，如R2係數和標準差。

方法三：Optimize.curve_fit( )

這與Polyfit方法是一致的，但本質上更具一般性。這個強大的函數來自scipy.optimize模組，可以通過最小二乘最小化將任意的使用者自訂函數擬合到資料集上。

對於簡單的線性迴歸來說，可以唯寫一個線性mx + c函數並調用這個估計函數。不言而喻，它也適用於多元迴歸，並返回最小二乘度量最小的函數參數數組以及共變數矩陣。

方法四：numpy.linalg.lstsq

這是通過矩陣分解計算線性方程組的最小二乘解的基本方法。來自numpy包的簡便線性代數模組。在該方法中，通過計算歐幾裡德2-範數||b-ax||2最小化的向量x來求解等式ax = b。

該方程可能有無數解、唯一解或無解。如果a是方陣且滿秩，則x(四捨五入)是方程的“精確”解。

你可以使用這個方法做一元或多元線性迴歸來得到計算的係數和殘差。一個小訣竅是，在調用函數之前必須在x資料後加一列1來計算截距項。這被證明是更快速地解決線性迴歸問題的方法之一。

方法五：Statsmodels.OLS ( )

Statsmodels是一個小型的Python包，它為許多不同的統計模型估計提供了類和函數，還提供了用於統計測試和統計資料探索的類和函數。每個估計對應一個泛結果清單。可根據現有的統計包進行測試，從而確保統計結果的正確性。

對於線性迴歸，可以使用該包中的OLS或一般最小二乘函數來獲得估計過程中的完整的統計資訊。

一個需要牢記的小技巧是，必須手動給資料x添加一個常數來計算截距，否則預設情況下只會得到係數。以下是OLS模型的完整匯總結果的截圖。結果中與R或Julia等統計語言一樣具有豐富的內容。

方法六和七：使用矩陣的逆求解析解

對於條件良好的線性迴歸問題(其中，至少滿足資料點個數>特徵數量)，係數求解等價於存在一個簡單的閉式矩陣解，使得最小二乘最小化。由下式給出：

這裡有兩個選擇：

(a)使用簡單的乘法求矩陣的逆

(b)首先計算x的Moore-Penrose廣義偽逆矩陣，然後與y取點積。由於第二個過程涉及奇異值分解(SVD)，所以它比較慢，但是它可以很好地適用於沒有良好條件的資料集。

方法八：sklearn.linear_model.LinearRegression( )

這是大多數機器學習工程師和資料科學家使用的典型方法。當然，對於現實世界中的問題，它可能被交叉驗證和正則化的演算法如Lasso迴歸和Ridge迴歸所取代，而不被過多使用，但是這些進階函數的核心正是這個模型本身。

八種方法效率比拼

作為一名資料科學家，應該一直尋找準確且快速的方法或函數來完成資料建模工作。如果模型本來就很慢，那麼會對大資料集造成執行瓶頸。

簡單矩陣逆求解的方案更快

作為資料科學家，我們必須一直探索多種解決方案來對相同的任務進行分析和建模，並為特定問題選擇最佳方案。

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