如何理解IEEE 754標準對Java中float值和double值的規定

標籤：sign   電子   eric   符號   技術   ima   表示   tps   第一個   

在Java語言中，我們可以使用float和double這兩種基礎資料型別 (Elementary Data Type)來表示特定的資料。

這兩種資料類型，本質上是浮點數（floating-point number），浮點是一種對於實數的近似值數值表現法，由一個有效數字加上冪數來表示。

之所以使用浮點數，是因為電腦在使用二進位運算的過程中，無法將所有的十進位小數準確的換算為二進位，只能使用近似值來表示。

使用浮點數表示數值的方法很多，在Java中，和C語言一樣，float和double都採用了使用最為廣泛的IEEE 754標準。

IEEE 754標準的全稱為IEEE二進位浮點數算術標準（ANSI/IEEE Std 754-1985），其中ANSI是美國國家標準局（American National Standards Institute）的縮寫，IEEE是電器電子工程師學會（Institute of Electrical and Electronics Engineers）的縮寫，754是該標準的編號，1985則是該標準發布的年份。

 IEEE 754規定，一個二進位浮點數在儲存中由三部分組成：

 其中第一部分為符號位（sign bit），第二部分為指數位移值（exponent bias）用於儲存浮點數的指數部分，第三部分為分數（fraction）用於儲存浮點數的有效數的小數部分。

以一個具體的float值為例，Java中的float值採用的是IEEE754中的單精確度標準，使用32個位元進行儲存。例如：

0100 0100 1010 0110 1001 1110 0000 0000

其中：

0100 0100 1010 0110 1001 1110 0111 0100

第一位的0為符號位，它表示這個數的正負值為正，相應的，若第一位為1則表示這是一個負數；

0100 0100 1010 0110 1001 1110 0000 0000

第2~9的8個位元儲存的是指數位移值，用於記錄該float值的指數部分，取值範圍為-126~+127再加上位移值127（2的7次方減1），結果就是1~254（0和255留作特殊值）。在本例中，1000 1001在十進位中的值為137，但是137是進行位移後的結果，減去位移值127後，其實際代表的指數值就是10。

0100 0100 1010 0110 1001 1110 0000 0000

第10~32的23個位元儲存的是該float值的分數/小數部分。010 0110 1001 1110 0000 0000實際上表示的就是二進位的0.010 0110 1001 1110 0000 0000再加上1，也就是1.010 0110 1001 111。這實際上就是二進位的1010 0110 1001 111右移十四位的結果。1010 0110 1001 111在十進位中的值為21327，所以1.010 0110 1001 111也就等於21327*2^(-14)。

綜上，例子中的：

0100 0100 1010 0110 1001 1110 0000 0000

實際上也就等於：

            +　　　　　　　　21327*2^(-14)　　　*　　　2^10　　　　=　　1332.9375

第一位符號位表示        第10~32的分數位表示　　第2~9的指數位表示

 

反之，例如我們想知道某個float a = 1000在記憶體中的形式，那麼則需要如下操作：

首先，1000是個整數，所以第一個位元位儲存的是0。

十進位的100在二進位中為11 1110 1000，這實際上就是1.111101左移9位的結果，
那麼實際上指數位儲存的結果就應該是9 + 127 = 136也就是1000 1000

分數位儲存的則是1.111101減去1的部分，補齊23位，也就是111 1010 0000 0000 0000 0000

綜上float a = 1000在記憶體中的儲存為：

0100 0100 0111 1010 0000 0000 0000 0000

 

 

另外，前面提到過的，指數位移值為0或255的時候代表特殊值：

當指數值為0，即0000 0000時，若小數部分為0，則這個數為±0（正負由符號位決定）；

當指數值為255，即1111 1111時，若小數部分為零，則這個數為±∞（正負由符號位決定）；

當指數值為255，即1111 1111時，若小數部分非零，則這個數表示為不是一個數（Not a Number）。

 

以上就是float的部分，double同理，只不過double採用IEEE 754雙精確度標準，使用64個位元儲存，其中2~12的11位為指數位，13~64的52位為小數位。

 

References:

IEEE 754 - wiki
https://zh.wikipedia.org/zh-cn/IEEE_754

浮點數 - wiki
https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%B5%AE%E7%82%B9%E6%95%B0

如何理解IEEE 754標準對Java中float值和double值的規定