ICPC 瀋陽 Problem C

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題意

求n的全排列中將前k個數排序後最長公用子序列>=n-1的個數

思考

我們先把最後可能產生的結果找出來，再找有多少種排列能構成這些結果

設排列為s

• S like 1,2,3,...,n , 個數=1
• S like 1,2,3, ... i-1, j, i, ... j-1, j+1, ...n
  • 當j<=k時不存在
  • 當j>k時， 個數= (j-1)-k+1=j-k
  • 綜上，個數=\(\Sigma_{j=k+1}^{n}j-k\)
• S like 1,2,3,...i-1, i+1, ..j,i,j+1..n
  • 當j<=k時，個數=n-(k+1)+1=n-k
  • 當j>k時， 個數= n-(j+1)+1=n-j
  • 綜上， 個數=\(k(n-k)+\Sigma_{j=k+1}^{n}n-j\)
• 但是 S like 1,2,3,...,i+1,i,...被重複計算了，個數=n-(k+1)+1=n-k
• 綜上，結果數=1+k(n-k)+(n-k)^2-(n-k)=1+(n-1)(n-k)

又因為對於每種結果可以由k!個排列構成

所以最後答案是 [1+(n-1)(n-k)]k! , k<=n

ICPC 瀋陽 Problem C