映像自動去暗角演算法

暗角映像是一種在現實中較為常見的映像，其主要特徵就是在映像四個角有較為顯著的亮度下降，比如下面兩幅圖：

在2014年Y.Zheng等人的《Single image vignetting correction》以及同樣有他們撰寫的論文《Single image vignetting correction using radial gradient symmetry》有講這方面的演算法，不過其實現的複雜度較高，即使能編程實現，速度估計也很慢，其實用性就不高了。

另一篇名為《Single-Image Vignetting Correction by Constrained Minimization of log-Intensity Entropy》的論文提供了相對簡單的演算法。該論文的核心思想為：

第一：

去暗角可以說是陰影校正的一種特例，而將整副映像的熵最小化也被證明為進行陰影校正的一種有效方法，但是普通的熵在最佳化過程中會最佳化到局部最優的。因此論文中提出了一種對數熵的概念（Log-Intensity Entropy），論文中用資料做了說明，假設一副普通正常的映像其長條圖是單峰分布，那麼如果這幅映像有暗角，其長條圖必然會存在另外一個低明度的分布，如下圖所示：

我們校正暗角的過程就是使低明度的分布向原來的正常明度靠近，由上圖第一行的資料可以看到，普通的熵計算直到兩個長條圖有部分重疊的時候熵才會下降，之前熵一直都是增加的，而對數熵則在沒有重疊前至少是保持不增的，因此能夠更好的擷取全域最優解。

論文提出的對數熵的實現：

1.1 將亮度進行對數映射，公式為：

就是將[0,255]內的像素值對應到[0, N-1]內，但不是線性映射，而是基於對數關係的映射，通常N就是取256，這樣映射後的像素範圍還是[0,255]，但是注意這裡的i(L)已經是浮點數了。我們繪製出N等於256時上式的曲線：

由上圖可見，這種操作實際上把映像整體調亮了。由於映射後的色階已經是浮點數了，因此，長條圖資訊的統計就必須換種方式了，論文給出的公式為：

公式很複雜， 其實就是有點類似線性插值那種意思，不認識了那兩個數學符號了，就是向上取整和向下取整。這樣的對數熵長條圖資訊會由於巨大的色階調整，導致很多色階是沒有長條圖資訊的，一般可以對這個長條圖資訊進行下高斯平滑的，得到新的長條圖。

最後映像的對數熵，計算方法如下：

第二：

一個暗角映像亮度下降的關係式：

其中，x和y是映像每一點的座標，而則表示暗角的中心位置，他們和a、b、c均為未知量。我們可以看到，當r=0時，校正係數為1，即無需校正。當r=1時，校正係數為1+a+b+c。

那麼經過暗角校正後的映像就為：

論文總結了滿足下述關係的a,b,c：

第三：

上面描述了校正暗角映像的公式（帶參數）以及評價一副映像是否有暗角的指標，那麼最後一步就是用這個指標來確定公式的參數。我們未知的參數有5個，即a、b、c以及暗角的中心點。解這種受限的最優問題是有專門的演算法的，也是非常計算耗時的。因此，作者提出了一種快速的演算法：Hill climbing with rejection of invalid solutions.

我稍微看了下這個演算法，確實是個不錯的想法，不過我並沒有去實踐，我採用了另外一種粗略的最佳化方式。
首先，很明顯，為了計算這些最優參數，我們沒有必要直接在原圖大小上直接計算，這點在原論文也有說明，我們即使把他們的寬高分別縮小到原圖的1/5甚至1/10計算出來的結果也不會有太大的差異，而這些參數的差異對最終的的結果影響也不大，但是計算量就能減少到原來的1/25和1/100。
接著，我們觀察到a、b以及c的最優結果範圍一般都在-2和2之間，並且從g的計算公式中知道，由於r是屬於0和1之間的正數，r^2, r^4, r^6在數值遞減的非常快，比如r=0.8,則三者對應的結果就分別為0.64、0.4096、0.2621，因此，a和b及c在公式中的對最後結果的影響也依次越來越小。
那麼，我們可以參考以前的對比保留之彩色映像去色演算法---基礎演算法也可以上檔次一文中的最佳化方式，把a, b ,c 三個參數分別在[-2,2]之間離散化，考慮到參數稍微差異不會對結果有太大的影響，以及a、b、c的重要性，我們可以設定a、b、c三者的離散間隔分別為0.2、0.3、0.4，然後綜合上述判斷a、b、c是否為合理組合的函數，離散取樣的計算量組合大概有300種可能，對小圖計算著300種可能性的耗時是完全可以接受的，甚至考慮極端一點，把c的計算放到迴圈外側，即C取固定值0，然後計算出優選的a和b值後，在計算C值。
上述計算過程並未考慮暗角中心點的範圍，我們是固定把暗角的中心點放置在映像的正中心位置的，即 (Width/2, Height /2)，實際上，對於大部分拍攝的圖來說，暗角就是位於中心位置的，因此這種假設也無可厚非，因為暗角中心計算的增加必然會嚴重增加計算量， 為了求出暗角中心的合理位置，我們在計算出上述a、b、c後，在小圖中以一定步長按照公式計算出粗略的中心位置，再放大到原圖中去。
計算出上述a、b、c以及中心點後，就可以再次按照校正公式來進行校正了，注意暗角的影響對每個通道都是等同的，因此，每個通道都應該乘以相同的值。
下面貼出一些用論文中的演算法處理的結果圖：