演算法導論第13章習題解

13-1-1：

13-1-2：

如果是紅色，不是紅/黑樹狀結構，違反性質4；

如果是黑色，不是紅/黑樹狀結構，違反性質5；

13-1-3：

是紅/黑樹狀結構；這也就說明了，後面的插入操作和刪除操作，使違反性質的節點上移至根結點策略；

13-1-4：

度：可能是2，此時兩個子結點都是黑色的；

可能是3，此時有一個紅色子結點，一個黑色的；

可能是4，此時，有兩個紅色子結點；

深度就是black-height，因為紅色的都被吸收了；

13-1-5：

假設最短的一條長度為h1，那麼它的黑高bh1最多為h1；假設最長的一條長度為h2，那麼它的黑高bh2最少為h2/2；

因為bh1等於bh2；所以h2/2<h1即h2小於2h1；

13-1-6：

最多情況下，紅黑節點交叉分布---2^(2k+1)-1;

最少情況下，都是黑節點----2^(k)-1;

13-1-7:

最大是2：1

最小是0:1

13-2-1：

見c++代碼；

13-3-1：

如果著色為黑，那麼性質5會破壞；

13-3-2：

13-3-4：

第一種情況下：z的叔節點為紅色，z的父結點為紅色，z的祖父節點必然不能是T.nil；所以此時，T.nil不會變為紅色；

第二種情況下：沒有顏色的改變；

第三種情況下：同情況1；

所以T.nil不會被置為紅色；

13-3-5：

倘若對於第n-1個結點，沒有紅色節點；那麼插入第n個結點，一開始為紅色，就不違反紅/黑樹狀結構性質，所以第n個結點必然是紅色；

如果前n-1個結點中有紅色節點，根據RB-INSERT-FIXUP，最後必然會有紅結點；

13-3-6：

首先分析一下：

 產生迭代回溯的原因是case1，否則的話，只進行一次case2和case3就可以搞定；我們不讓case1這種情況產生即可：我們採用自上而下的處理方式：假設新增節點A，那麼就沿著A的路徑，只要看到有某個節點X的另個子結點都是紅色，就把X改成紅色，並把兩個子結點改成黑色，如果此時X的父結點為紅色，那麼X的兄弟節點必然為黑色，我們對X進行case2或case3操作即可。

第二種方法就是使用棧來記錄路徑，然後把棧傳到insert_fixup，操作和書本中的操作沒有太大區別；

13-4-4：

T.nil的作用就在於刪除，T.nil的父結點可以改變；

首先當x本身就是T.nil的時候，這時候，利用T.nil尋找x的兄弟節點；

第二，w沒有孩子時；

13-1：

a.對於插入操作，從根結點到插入的節點的整條路徑都得複製；

對於刪除節點x，如果刪除的就是給定節點x，那麼所有x的祖先都得複製；

 如果刪除的是x的後繼y，（即用y替換x），那麼y的祖先都得複製，x的祖先都得複製；由於x是y的祖先，所以結論：y的祖先都得複製

b下面偽碼中的new copy操作是先產生一個節點，然後把值複製進去；如果要copy的節點是NULL，那麼值為0

PERSISTENT-TREE-INSERT(T,T',k) y'=NIL x=T.root T'.root=new copy of T.root x'=T'.root while(x!=NIL)  y'=x'  if(k<x.key)    x'.right=x.right    x'.left=new copy of x.left    x=x.left    x'=x'.left  else    x'.left=x.left    x'.right=new copy of x.right    x=x.right    x'=x'.right//此時x'即為k的插入點，y'為x'的父結點 x'.key=k

c.都是O(h)

e.13-3-6：採用棧的形式，實現insert，同理實現delete

13-2：

a.對於樹的黑高，就是根結點的黑高；對於插入操作，兩次旋轉都不會影響樹的黑高；唯一能夠改變樹的黑高的就是case1的上移操作，也就是根結點顏色的變化；對於刪除操作，旋轉也不影響樹的黑高，只有case2的上移操作至樹根，才會改變黑高；所以：當只有樹根顏色發生改變時，黑高才發生改變；

對於每個被訪問的節點，其祖先節點有x個黑色的，它的黑高就等於樹的黑高減去x；

b尋找最右面的黑高為T2.bh的節點：

FIND-MAX_IF(T1，T2.bh) bh=T1.bh x=T1.root while(bh>T2.bh)  bh=bh-1  x=x.right return x

c.

RB-JOIN(Ty,x,T2) x.left=Ty.root Ty.root.p=x x.right=T2.root T2.root.p=x Ty.root=x

d染成紅色；

染成紅色後，如果原來的y就是T1的根結點，即T1.bh=T2.bh，那麼，就違反了性質1，此時，只需要把根結點顏色變為黑色，黑高加1即可；否則，如果Ty原來的父結點為紅色，那麼就可能違反性質4，此時，調用Insert-fixup進行調整即可；時間複雜度為O(lgn)

f.

RB-JOIN(T1，x,T2) if(T1.bh<=T2.bh)  y=FIND-MAX_IF(T1,T2.bh)  RB-JOIN(y,x,T2)  INSERT-FIXUP(T1,y) else....

13-3：

假設我們插入的位置是在違反性質點的左子樹插入的，

那麼對於情況一：外側插入，

原來A子樹跟B子樹屬於同一深度，C子樹比A子樹淺一層

其中x為違反平衡的點，那麼A子樹成長了一層，致使它比C子樹的深度多了2。

此時，對X做一次右旋即可：

右旋：

AVL-ROTATE-RIGHT(T,x) y=x.left x.left=y.right if(y.right!=NIL)  y.right.p=x y.p=x.p if(x.p==NIL)  T.root=y elseif x==x.p.left  x.p.left=y else  x.p.right=y y.right=x x.p=y //調整高度： x.h=max(x.left.h,x.right.h)+1 y.h=max(y.left.h,y.right.h)+1

情況二：內側插入：

對於這種情況，

原來A子樹的深度比C子樹深一層；

先對x的left做一次左旋，轉化為外側插入：

左旋：

AVL-ROTATE-LEFT(T,x) y=x.right x.right=y.left if(y.left!=NIL)  y.left.p=x y.p=x.p if(x.p==NIL)  T.root=y elseif x==x.p.left  x.p.left=y else  x.p.right=y y.left=x x.p=y //調整高度： x.h=max(x.left.h,x.right.h)+1 y.h=max(y.left.h,x.left.h)+1

所以：

BALANCE(x):

BALANCE(x) if(x.left.h>x.right.h)  if(x.left.left.h>x.left.right)//case1    AVL-RIGHT-ROTATE(T,x)  else//case2    AVL-LEFT-ROTATE(T,x.left)AVL-RIGHT-ROTATE(T,x) else//對稱情況 //將上述的left與right互換

c.

AVL-INSERT(x,z) if(x==NIL)   T.root=z if(z.key<x.key)  if(x.left==NIL)   x.left=z   z.p=x   _INSERT_FIXUP(T,x)  else   AVL-INSERT(x.left,z) else  if(x.right==NIL)   x.right=z   z.p=x   _INSERT_FIXUP(T,x)  else   AVL-INSERT(x.right,z)         _INSERT_FIXUP(T,x) while(x!=NIL)  x.h=x.h+1//先調整高度  if(x.left!=NIL&&x.right!=NIL)   if(|x.left.h-x.right.h|==2)    BALANCE(T,x)    return  else//此種情況下有一個節點為空白   if(x.left!=NIL)    if(x.left==2) BALANCE(T,x) returnelseif(x.right==2) BALANCE(T,x) return  x=x.p

d.最多進行兩次旋轉；

13-4：

a證明：首先優先順序最小的會當做根結點，此時對應的根結點了關鍵字確定了，剩下了節點劃分為兩組：{x1...xk}的關鍵字小於root.key，剩下的大於root.key;對於每一組，必然選擇優先順序最小的作為子樹的根結點，所以，遞迴此步驟即可得到，唯一的treap

c.

TREAP-INSERT(T,x) BST-INSERT(T,x)//普通二叉插入 while(x.p!=NIL&&x.priority<x.p.priority)   if(x==x.p.left)    RIGHT-ROTATE(T,x.p)   else    LEFT-ROTATE(T,x.p)

最多進行lgn次旋轉；