《演算法導論》CLRS演算法C++實現（八）P108 最大值和最小值

第九章 中位元和順序統計學

9.1 最小值和最大值

在一個有n個元素的集合中，要做多少次比較才能確定其最小元素呢？可以很容易地給出n-1次比較這個上界：依次查看集合中的每個元素，並記錄比較過程中的最小元素。同樣道理，最大值也可以通過n-1次比較找出來。這個演算法比較簡單，我就沒有寫程式實現了。

在某些應用中，必須找出n個元素集合中的最大值和最小值。按照上面的思路，可以對目標數組進行兩次掃描，便可獨立得到最小值和最大值。但這是不是最優的演算法呢？事實上，至多3floor(n/2)次比較就足以同時找出最大值和最小值。做法是記錄比較過程中遇到的最小值和最大值。並不是將每一個輸入元素與當前的最大值和最小值分別進行比較，而是成對地處理元素。先將一對輸入元素互相比較，然後把較小值與當前最小值進行比較，最大值與當前最大值進行比較，這樣每兩個元素需要進行三次比較，而不是四次。

C++語言實現

 1 #include <iostream> 2  3 using namespace std; 4  5 struct XY 6 { 7     int max; 8     int min; 9 };10 11 XY returnXY(int x, int y)12 {13     XY maxminXY;14     if(x > y)15     {16         maxminXY.max = x;17         maxminXY.min = y;18     }19     else20     {21         maxminXY.max = y;22         maxminXY.min = x;23     }24     return maxminXY;25 }26 27 XY maxmin(int* arr, int length)28 {29     XY extremum;30     XY temp;31     extremum = returnXY(arr[0], arr[1]);32     if(length % 2 == 0)33     {34         for(int i = 2; i < length; i += 2)35         {36             temp = returnXY(arr[i], arr[i + 1]);37             if(extremum.max < temp.max)38                 extremum.max = temp.max;39             if(extremum.min > temp.min)40                 extremum.min = temp.min;41         }42     }43     else44     {45         for(int i = 2; i < length - 1; i += 2)46         {47             temp = returnXY(arr[i], arr[i + 1]);48             if(extremum.max < temp.max)49                 extremum.max = temp.max;50             if(extremum.min > temp.min)51                 extremum.min = temp.min;52         }53         if(arr[length - 1] > extremum.max)54             extremum.max = arr[length - 1];55         else if(arr[length - 1] < extremum.min)56             extremum.min = arr[length - 1];57     }58     return extremum;59 }60 61 int main()62 {63     XY maxminXY;64     int a[] = {22, 34, 95, 87, 56, 980, 12, 48};65     maxminXY = maxmin(a, 8);66     cout << "Max = " << maxminXY.max << " " << "Min = " << maxminXY.min << endl;67     return 0;68 }

在程式中，我用了一個結構體XY用於同時儲存最大值和最小值。函數XY returnXY(int x, int y)是擷取每對元素的最大值和最小值的函數。函數XY maxmin(int* arr, int length)是實現同時返回長度為length的數組的最大值和最小值的程式。

習題：在最壞情況下，利用n+ceil(lgn)-2次比較，即可找到n個元素中的第2小元素。（提示：同時找出最小元素）

對數組arr[1…n] 中元素成對的做比較，每次比較後將較小的數拿出，形成的數組再繼續這樣處理，直到剩下最後的一個，就是數組中最小的那個。在這個過程中，一共進行了n-1 次比較，樹根即為最小的元素。而第二小的元素一定是在這個過程中與根節點進行過比較的元素，因為只有最小的元素可以擊敗次小的元素。這樣的數最多有(lgn)個，在這些數中找到最小的元素需要進行ceil(lgn)-1次比較。因此總共所需的比較次數為n+ceil(lgn)-2次。