【求職面試】斐波那契數列（C#版）

經典就是經典，不論多少年，經典永遠不會改變。

語言，架構總有一天會過時，但是唯獨經典永遠存在。這就是研究這些經典演算法的永恒。

當我這樣一個.net程式員去應聘Java, C++, Android崗位時，我發現架構語言特性，都被拋棄。就這樣海綿一擠，我的4年水分就出來了。剩下的精華已不多。而能貫穿各個崗位的，就是這些雖在身邊，但卻忽視如空氣般的，底層知識和應用能力。

你的經驗，有多少水分呢？在一個公司久了，出來晒晒，你就發現，其實你會的並不多。

 

有趣問題：

1，有一段樓梯有10級台階,規定每一步只能跨一級或兩級,要登上第10級台階有幾種不同的走法?

答：這就是一個斐波那契數列：登上第一級台階有一種登法；登上兩級台階，有一種登法；登上三級台階，有兩種登法；登上四級台階，有三種方法……所以，1, 1，2，3，5，8，13……登上十級，有89種。

2，數列中相鄰兩項的前項比後項的極限是多少，就是問，當n趨於無窮大時，F(n)/F(n+1)的極限是多少？

答：這個可由它的通項公式直接得到，極限是(-1+√5)/2，這個就是所謂的黃金分割點，也是代表大自然的和諧的一個數字。

 

數學表示：

Fibonacci數列的數學運算式就是：

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

F(1) = 1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　F(2) = 1

 

公式是給出來了，可是為什麼是這個公式呢？你有沒有想過？

公式是怎麼提煉出來的？我數學不好，所以我的經驗就是從找規律開始：

　　如果起點是0的話，對於第一級台階來講有F(1)=1種走法，對於第二級來講有F(2)=1種走法。對於第三極台階，有1+2, 2+1兩種走法。對於第四級台階，可以從第三極台階+1，也可以從第二級台階+2，也就是F(4) = F(3) + F(2)，以此類推。

 寫代碼也很簡單：

        ///<summary>
/// Fibonacci遞迴演算法。時間複雜度O(n)=O((3/2)^n)，指數級演算法
///</summary>
        public ulong FibonacciRecursion(int n)
        {
if (n < 0)
throw new ArgumentOutOfRangeException("n must > 0.");

if (n == 1 || n == 2)
return 1;
return FibonacciRecursion(n - 1) + FibonacciRecursion(n - 2);
        }

那麼這個超級簡單的遞推程式，效率是多少呢？讓我們加個數組，記錄每次遞迴的次數，同時可以output一下，看看這些有趣的數字。

        ///<summary>
/// 遞迴輸出Fibonacci
///</summary>
        public ulong FibonacciRecursionCount(int n, int[] countArray)
        {
            countArray[n]++;  //count the compute number.

if (n < 0)
throw new ArgumentOutOfRangeException("n must > 0.");

if (n == 1 || n == 2)
return 1;
return FibonacciRecursionCount(n - 1, countArray) + FibonacciRecursionCount(n - 2, countArray);
        }

這時，可以得到每個fib(i)被計算的次數：

fib(10) = 1     fib(9) = 1      fib(8) = 2      fib(7) = 3

fib(6) = 5      fib(5) = 8      fib(4) = 13    fib(3) = 21

fib(2) = 34   fib(1) = 55    fib(0) = 34

可見，計算次數呈反向的Fibonacci數列，這顯然造成了大量重複計算。

我們令T(N)為函數fib(n)的已耗用時間，當N>=2的時候我們分析可知：

T(N) = T(N-1) + T(N-2) + 2

而fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)，所以有T(N) >= fib(n)，歸納法證明可得：

fib(N) < (5/3)^N

當N>4時，fib（N）>= (3/2)^N

標準寫法：