約瑟夫問題、約瑟夫環

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約瑟夫問題（有時也稱為約瑟夫斯置換，是一個出現在電腦科學和數學中的問題。在電腦編程的演算法中，類似問題又稱為約瑟夫環。又稱“丟手絹問題”.）

1問題來曆編輯據說著名猶太曆史學家 Josephus有過以下的故事：在羅馬人佔領喬塔帕特後，39 個猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓到，於是決定了一個自殺方式，41個人排成一個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然後再由下一個重新報數，直到所有人都自殺身亡為止。然而Josephus 和他的朋友並不想遵從。首先從一個人開始，越過k-2個人（因為第一個人已經被越過），並殺掉第 k個人。接著，再越過k-1個人，並殺掉第 k個人。這個過程沿著圓圈一直進行，直到最終只剩下一個人留下，這個人就可以繼續活著。問題是，給定了和，一開始要站在什麼地方才能避免被處決？Josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，於是逃過了這場死亡遊戲。[1] 17世紀的法國數學家加斯帕在《數目的遊戲問題》中講了這樣一個故事：15個教徒和15 個非教徒在深海上遇險，必須將一半的人投入海中，其餘的人才能倖免於難，於是想了一個辦法：30個人圍成一圓圈，從第一個人開始依次報數，每數到第九個人就將他扔入大海，如此迴圈進行直到僅餘15個人為止。問怎樣排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。*問題分析與演算法設計約瑟夫問題並不難，但求解的方法很多；題目的變化形式也很多。這裡給出一種實現方法。題目中30個人圍成一圈，因而啟發我們用一個迴圈的鏈來表示，可以使用結構數組來構成一個迴圈鏈。結構中有兩個成員，其一為指向下一個人的指標，以構成環形的鏈；其二為該人是否被扔下海的標記，為1表示還在船上。從第一個人開始對還未扔下海的人進行計數，每數到9時，將結構中的標記改為0，表示該人已被扔下海了。這樣迴圈計數直到有15個人被扔下海為止。一般形式編輯約瑟夫問題是個有名的問題：N個人圍成一圈，從第一個開始報數，第M個將被殺掉，最後剩下一個，其餘人都將被殺掉。例如N=6，M=5，被殺掉的順序是：5，4，6，2，3，1。解決方案方法一：用鏈表環表示：首先構造鏈表環，之後刪除第m個元素，往後繼續數。用shoot表示1~m的迴圈。

int josephus1(int n,int m) { if (n<1||m<1) { return -1; } listNode *head=creat(n); int shoot=1; listNode *p=head,*s=p; while(length(p)>1) { if (shoot++==m) {  s=p->next;  remove(head,p->val);  cout<<p->val<<"->";  shoot=1;  p=s; } else { head=p;             p=p->next; } } cout<<head->val<<endl; return head->val; } listNode *creat(int n) { listNode *head,*p,*s; head=(listNode*)malloc(sizeof(listNode)); p=head; int i=1; while(i<=n) { s=(listNode*)malloc(sizeof(listNode)); s->val=i; p->next=s; p=s; i++; } head=head->next; p->next=head; return head; }  listNode *remove(listNode *head,int val)  {  listNode *p,*s;  p=head;  while (p->val!=val)  {  s=p;  p=p->next;  }  if (p->val==val)  {  s->next=p->next;  return head;  }  }  int length(listNode* head)  {  if (head==NULL) return 0; if (head->next==head) return 1;  int length=0; listNode *p=head; while (p->next!=head) { p=p->next; length++; } return length+1;  }

方法二：用C++，list容器類比環，其中沒有next。用迭代器++實現，代碼如下：

 int josephus2(int n,int m) { if (n<1||m<1) { return -1; } list<int> li; for (int i=1;i<=n;i++) { li.push_back(i); } list<int> ::iterator iter=li.begin(); while (li.size()>1) { for (int i=1;i<m;i++) { iter++; if (iter==li.end()) { iter=li.begin(); } } list<int> ::iterator next=++iter; if (next==li.end()) { next=li.begin(); } --iter;  cout<<*(iter)<<"->"; li.erase(iter); iter=next; } cout<<*(iter)<<endl; return *(iter); }

方法三：無論是用鏈表實現還是用數組實現都有一個共同點：要類比整個遊戲過程，不僅程式寫起來比較煩，而且時間複雜度高達O(nm），空間複雜度為O（n），當n，m非常大（例如上百萬，上千萬）的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是要讀者類比整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：問題描述：n個人（編號0~(n-1）），從0開始報數，報到（m-1）的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。我們知道第一個人（編號一定是（m-1） mod n) 出列之後，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號為k=m mod n的人開始）：k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2並且從k開始報0。我們把他們的編號做一下轉換：k --> 0k+1 --> 1k+2 --> 2......k-2 --> n-2變換後就完完全全成為了（n-1）個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x‘=(x+k) mod n如何知道（n-1）個人報數的問題的解？對，只要知道（n-2）個人的解就行了。（n-2）個人的解呢？當然是先求（n-3）的情況 ---- 這顯然就是一個反向推算問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：令f表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]遞推公式f[1]=0;f=(f+m) mod i; (i>1）有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f的數值，最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1由於是逐級遞推，不需要儲存每個f，程式也是異常簡單：代碼如下：

int josephus(int n,int m) { if (n<1||m<1) { return -1; } int f=0; for (int i=1;i<=n;i++) {  f=(f+m)%i; } return f+1; }

此方法時間複雜度為O（n）,空間複雜度為O（1）。缺點是無法實現過程輸出，只能求得最後一個元素的值。
完整代碼如下;其中  int josephus2(int n,int m)和  int josephus3(int n,int m)是利用list容器實現的兩種思想相同，不同操作的代碼。

#include <iostream>#include <list>#include<iterator >using namespace std;struct listNode{int val;listNode *next;}; int josephus(int n,int m); int josephus1(int n,int m); listNode *creat(int n); listNode *remove(listNode *head,int val); int length(listNode* head); int josephus2(int n,int m); int josephus3(int n,int m);void main(){int n=41;int m=3;cout<<josephus(n,m)<<endl;cout<<josephus1(n,m)<<endl;cout<<josephus2(n,m)<<endl;cout<<josephus3(n,m)<<endl;} int josephus(int n,int m) { if (n<1||m<1) { return -1; } int f=0; for (int i=1;i<=n;i++) {  f=(f+m)%i; } return f+1; } int josephus1(int n,int m) { if (n<1||m<1) { return -1; } listNode *head=creat(n); int shoot=1; listNode *p=head,*s=p; while(length(p)>1) { if (shoot++==m) {  s=p->next;  remove(head,p->val);  cout<<p->val<<"->";  shoot=1;  p=s; } else { head=p;             p=p->next; } } cout<<head->val<<endl; return head->val; } listNode *creat(int n) { listNode *head,*p,*s; head=(listNode*)malloc(sizeof(listNode)); p=head; int i=1; while(i<=n) { s=(listNode*)malloc(sizeof(listNode)); s->val=i; p->next=s; p=s; i++; } head=head->next; p->next=head; return head; }  listNode *remove(listNode *head,int val)  {  listNode *p,*s;  p=head;  while (p->val!=val)  {  s=p;  p=p->next;  }  if (p->val==val)  {  s->next=p->next;  return head;  }  }  int length(listNode* head)  {  if (head==NULL) return 0; if (head->next==head) return 1;  int length=0; listNode *p=head; while (p->next!=head) { p=p->next; length++; } return length+1;  }  int josephus2(int n,int m) { if (n<1||m<1) { return -1; } list<int> li; for (int i=1;i<=n;i++) { li.push_back(i); } list<int> ::iterator iter=li.begin(); while (li.size()>1) { for (int i=1;i<m;i++) { iter++; if (iter==li.end()) { iter=li.begin(); } } list<int> ::iterator next=++iter; if (next==li.end()) { next=li.begin(); } --iter;  cout<<*(iter)<<"->"; li.erase(iter); iter=next; } cout<<*(iter)<<endl; return *(iter); }  int josephus3(int n,int m)  {  if (n<=1)  {  return -1;  }  list<int> li;  for (int i=1;i<=n;i++)  {  li.push_back(i);  }  int shoot=1;  list<int> ::iterator next=li.begin();  int last=0;  list<int>::iterator iter=li.begin();  for (iter=li.begin();li.size()>1;) { if (shoot++==m) { next=++iter; if (next==li.end()) { next=li.begin(); } --iter; last=*iter;  cout<<last<<"->"; li.erase(iter); iter=next; shoot=1; } else { iter++; if (iter==li.end()) { iter=li.begin(); } } }  last=*iter;   cout<<last<<endl;  return last;  }

運行結構如下：

約瑟夫問題、約瑟夫環