約瑟夫問題o(n)演算法

聲明：本文僅為個人查閱方便所轉，著作權為原文作者

本演算法僅適用於找出最後的勝利者，而不是得到出列序列。

此方法從考慮n-1個人中最終勝利者（最後一個沒有出列的人是誰），遞推到n個人時最終勝利者是誰。但是並不能得到出列的序列。

無論是用鏈表實現還是用數組實現都有一個共同點：要類比整個遊戲過程，不僅程式寫起來
比較煩，而且時間複雜度高達O(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是
沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不
是要讀者類比整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。

為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：

問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始
報數。求勝利者的編號。

我們知道第一個人(編號一定是m%n-1) 出列之後，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環
（以編號為k=m%n的人開始）:
  k  k 1  k 2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
並且從k開始報0。

現在我們把他們的編號做一下轉換：
k     --> 0
k 1   --> 1
k 2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是
最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回
去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解
呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個反向推算問題！好了，思路出來了，下面寫
遞推公式：

令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]

遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最後結果是f[n]。因為實際生
活中編號總是從1開始，我們輸出f[n] + 1

由於是逐級遞推，不需要儲存每個f[i]，程式也是異常簡單：

＃i nclude <stdio.h>

main()
{
  int n, m, i, s=0;
  printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
  for (i=2; i<=n; i ) s=(s + m)%i;
  printf ("The winner is %d/n", s+1);
}

這個演算法的時間複雜度為O(n)，相對於類比演算法已經有了很大的提高。算n，m等於一百萬，
一千萬的情況不是問題了。可見，適當地運用數學策略，不僅可以讓編程變得簡單，而且往
往會成倍地提高演算法執行效率。