JPEG解碼：反DCT變換（一）

DCT(Discrete Cosine Transform)離散餘弦變換是一種經典譜分析方法，屬於離散傅立葉變換的一種特殊情況，即在變換後的傅立葉級數中只包括餘弦項，變化後的資料比較集中。經過DCT變換可以將圖片從色彩域轉換到頻率域，將原始映像的資訊塊轉化為代表不同頻率分量的係數集。它是一種廣泛使用的壓縮方法，首先把每個單獨的彩色映像分量分成8×8映像塊，然後經過二維DCT變換，其低頻分量都集中在左上方，高頻分量分布在右下角。變換之後還是8×8的資料區塊，也就是說DCT變換本身並沒有起到壓縮資料的作用，但是它為以後的資料壓縮奠定了必不可少的基礎。

經過DCT變換的資料有2個優點：1，訊號常將其能量的大部分集中於頻率域的一個小範圍內，這樣一來，描述不重要的分量只需要很少的位元數；2，頻率域分解映射了人類視覺系統的處理過程，並允許後繼的量化過程滿足其靈敏度的要求。對於變換之後的8×8的資料矩陣塊，矩陣最左上方的直流 （DC）係數幅度最大，以DC 係數為出發點向下、向右的其它DCT 係數，離DC 分量越遠，頻率越高，幅度值越小，即映像資訊的大部分集中於直流係數及其附近的低頻頻譜上，離DC 係數越來越遠的高頻頻譜幾乎不含映像資訊，甚至於只含雜波。

 

壓縮映像是經過DCT變換之後的映像，我們要對壓縮映像進行解壓就要對壓縮資料進行“反DCT變換（DCT逆變換）”。DCT逆變換的方法有好幾種，我們這裡採用行列分解的方法。

DCT逆變換的公式為：

     

可改寫為：

f=AτFA                                                                                    

 

 其中A為矩陣：

 對上面的公式進行變形的

Y =FA

f  =AT Y

fT =(AT Y)T =YT A

其中F的資料區塊。

經分析可知，完成一次DCT逆變換需要4步：

1：壓縮資料區塊（8×8）矩陣與矩陣A（8×8）相乘，得到矩陣Y（8×8）。

2：對矩陣Y進行轉秩得到（8×8）。

3：Y的轉秩再與矩陣A相乘得到8×8的矩陣ft。

4：對ft  進行轉秩得到f。  

 

所以整個設計中需要兩個模組，一個用於矩陣的相乘，兩個用於矩陣的轉秩。

總體設計如下：

 

 

A矩陣乘法器的作用是實現輸入矩陣和A矩陣的相乘。注意A矩陣在乘法的右邊。

iDCT變換的對象是8 ×8的資料單元，既輸入資料共64個，按行輸入，每8個資料為一行。每輸入一行資料就分別和A矩陣的每一列進行乘加運算，每完成一次這樣的乘加運算就輸出一次結果。由於輸入在左邊，所以輸出的按矩陣的行的序列輸出的。比如，輸入第一行資料，分別和A矩陣的各列相乘，按順序輸出8個結果，這8個結果就是輸出矩陣的第一行；當輸入第二行資料時，同樣輸出8個結果，這8個結果是輸出矩陣的第二行。所以經過第一次矩陣乘法之後得到的是Y矩陣。

 

轉秩就是對64個資料進行重新排列的結果。

如：

左邊為未轉秩的資料順序，右邊為轉秩之後的資料順序。