KMP演算法詳解

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　　假如，A="abababaababacb"，B="ababacb"，我們來看看KMP是怎麼工作的。我們用兩個指標i和j分別表示，A[i-j+ 1..i]與B[1..j]完全相等。也就是說，i是不斷增加的，隨著i的增加j相應地變化，且j滿足以A[i]結尾的長度為j的字串正好匹配B串的前 j個字元（j當然越大越好），現在需要檢驗A[i+1]和B[j+1]的關係。當A[i+1]=B[j+1]時，i和j各加一；什麼時候j=m了，我們就說B是A的子串（B串已經整完了），並且可以根據這時的i值算出匹配的位置。當A[i+1]<>B[j+1]，KMP的策略是調整j的位置（減小j值）使得A[i-j+1..i]與B[1..j]保持匹配且新的B[j+1]恰好與A[i+1]匹配（從而使得i和j能繼續增加）。我們看一看當 i=j=5時的情況。

　　　　　　i   = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
　　　　　　A = a b a b a b a a b a b …
　　　　　　B = a b a b a c b
　　　　　　j   = 1 2 3 4 5 6 7
　　　此時，A[6]<>B[6]。這表明，此時j不能等於5了，我們要把j改成比它小的值j‘。j‘可能是多少呢？仔細想一下，我們發現，j‘必須要使得B[1..j]中的頭j‘個字母和末j‘個字母完全相等（這樣j變成了j‘後才能繼續保持i和j的性質）。這個j‘當然要越大越好。在這裡，B [1..5]="ababa"，頭3個字母和末3個字母都是"aba"。而當新的j為3時，A[6]恰好和B[4]相等。於是，i變成了6，而j則變成了 4：
　　　　　　i   = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
　　　　　　A = a b a b a b a a b a b …
　　　　　　      B = a b a b a c b
　　　　　　       j  = 1 2 3 4 5 6 7
　　從上面的這個例子，我們可以看到，新的j可以取多少與i無關，只與B串有關。我們完全可以預先處理出這樣一個數組P[j]，表示當匹配到B數組的第j個字母而第j+1個字母不能匹配了時，新的j最大是多少。P[j]應該是所有滿足B[1..P[j]]=B[j-P[j]+1..j]的最大值。
再後來，A[7]=B[5]，i和j又各增加1。這時，又出現了A[i+1]<>B[j+1]的情況：

　　　　　　i   = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
　　　　　　A = a b a b a b a a b a b …
　　　　　　      B = a b a b a c b
　　　　　　      j   = 1 2 3 4 5 6 7

　　由於P[5]=3，因此新的j=3：

　　　　　　i   = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
　　　　　　A = a b a b a b a a b a b …
　　　　　　            B = a b a b a c b
　　　　　　             j  = 1 2 3 4 5 6 7

　　這時，新的j=3仍然不能滿足A[i+1]=B[j+1]，此時我們再次減小j值，將j再次更新為P[3]：

　　　　　　i   = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
　　　　　　A = a b a b a b a a b a b …
　　　　　　                   B = a b a b a c b
　　　　　　                     j = 1 2 3 4 5 6 7

　　現在，i還是7，j已經變成1了。而此時A[8]居然仍然不等於B[j+1]。這樣，j必須減小到P[1]，即0：

　　　　　　i   = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
　　　　　　A = a b a b a b a a b a b …
　　　　　　                   B =    a b a b a c b
　　　　　　                    j = 0 1 2 3 4 5 6 7

　　　　終於，A[8]=B[1]，i變為8，j為1。事實上，有可能j到了0仍然不能滿足A[i+1]=B[j+1]（比如A[8]="d"時）。因此，準確的說法是，當j=0了時，我們增加i值但忽略j直到出現A[i]=B[1]為止。
　　這個過程的代碼很短（真的很短），我們在這裡給出虛擬碼：

　　　　j:=0;
　　　　for i:=1 to n do
　　　　begin
　　　　　　while (j>0) and (B[j+1]<>A[i]) do j:=P[j];
　　　　　　　　if B[j+1]=A[i] then j:=j+1;
　　　　　　　　if j=m then
　　　　　　begin
　　　　　　　　writeln(‘Pattern occurs with shift ‘,i-m);
　　　　　　　　　j:=P[j];
　　　　　　end;
　　　　end;

　　　　現在，我們還遺留了兩個重要的問題：一，為什麼這個程式是線性；二，如何快速預先處理P數組。
　　為什麼這個程式是O(n)的？其實，主要的爭議在於，while迴圈使得執行次數出現了不確定因素。我們將用到時間複雜度的攤還分析中的主要策略，簡單地說就是通過觀察某一個變數或函數值的變化來對零散的、雜亂的、不規則的執行次數進行累計。KMP的時間複雜度分析可謂攤還分析的典型。我們從上述程式的j 值入手。每一次執行while迴圈都會使j減小（但不能減成負的），而另外的改變j值的地方只有第五行。每次執行了這一行，j都只能加1；因此，整個過程中j最多加了n個1。於是，j最多隻有n次減小的機會（j值減小的次數當然不能超過n，因為j永遠是非負整數）。這告訴我們，while迴圈總共最多執行了n次。按照攤還分析的說法，平攤到每次for迴圈中後，一次for迴圈的複雜度為O(1)。整個過程顯然是O(n)的。這樣的分析對於後面P數組預先處理的過程同樣有效，同樣可以得到預先處理過程的複雜度為O(m)。
預先處理不需要按照P的定義寫成O(m^2)甚至O(m^3)的。我們可以通過P[1],P[2],…,P[j-1]的值來獲得P[j]的值。對於剛才的B="ababacb"，假如我們已經求出了P[1],P[2],P[3]和P[4]，看看我們應該怎麼求出P[5]和P[6]。P[4]=2，那麼P [5]顯然等於P[4]+1，因為由P[4]可以知道，B[1,2]已經和B[3,4]相等了，現在又有B[3]=B[5]，所以P[5]可以由P[4] 後面加一個字元得到。P[6]也等於P[5]+1嗎？顯然不是，因為B[ P[5]+1 ]<>B[6]。那麼，我們要考慮“退一步”了。我們考慮P[6]是否有可能由P[5]的情況所包含的子串得到，即是否P[6]=P[ P[5] ]+1。這裡想不通的話可以仔細看一下：

　　　　　　             1 2 3 4 5 6 7
　　　　　　B = a b a b a c b
　　　　　　P = 0 0 1 2 3 ?

　　P[5]=3是因為B[1..3]和B[3..5]都是"aba"；而P[3]=1則告訴我們，B[1]、B[3]和B[5]都是"a"。既然P[6]不能由P[5]得到，或許可以由P[3]得到（如果B[2]恰好和B[6]相等的話，P[6]就等於P[3]+1了）。顯然，P[6]也不能通過P[3]得到，因為B[2]<>B[6]。事實上，這樣一直推到P[1]也不行，最後，我們得到，P[6]=0。
怎麼這個預先處理過程跟前面的KMP主程式這麼像呢？其實，KMP的預先處理本身就是一個B串“自我匹配”的過程。它的代碼和上面的代碼神似：

　　　　　　P[1]:=0;
　　　　　　j:=0;
　　　　　　for i:=2 to m do
　　　　　　begin
　　　　　　　　while (j>0) and (B[j+1]<>B[i]) do j:=P[j];
　　　　　　　　　　if B[j+1]=B[i] then j:=j+1;
　　　　　　　　P[i]:=j;
　　　　　　end;

　　最後補充一點：由於KMP演算法只預先處理B串，因此這種演算法很適合這樣的問題：給定一個B串和一群不同的A串，問B是哪些A串的子串。

轉載來自：http://www.matrix67.com/blog/archives/115  （Matrix67原創）

Matrix67講解的KMP清晰明了，很棒的，擴~~

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