23最小產生樹之Kruskal演算法

標籤：9.png   src   idt   int   a演算法   指定   個人   最短路徑   ***   

圖的最佳化問題：最小產生樹、最短路徑

典型的圖應用問題

無向連通加權圖的最小產生樹

有向/無向加權圖的最短路徑

四個經典演算法

Kruskal演算法、Prim演算法---------------最小產生樹

Dijkstra演算法、Floyd演算法-------------最短路徑

 

最小產生樹的概念:

G=(V,E)：無向連通加權圖

C(e)或C(v,w)： 邊e=(v,w)的耗費（Cost）

若S=(V,T)是G的一棵產生樹（T是樹邊集）,那麼， S的邊長之和稱作產生樹S的耗費C(S)

耗費C(S)達到最小值的產生樹S，稱為G的最小耗費產生樹，也稱最小產生樹（MinimumSpanningTree）

即C(S)≤C(S‘) （S‘是圖G的任一產生樹）

注意：最小產生樹可能不唯一

 

Kruskal演算法

演算法思想: 按長度從小到大的依次把邊加進產生樹,若添加某邊後形成了迴路，就捨棄這條邊

反覆如此，直到選出n-1條邊，便得到最小產生樹.。

 

 

通俗來講，該演算法很簡單。

步驟：

1.在空白處畫出與原圖一模一樣的結點位置。（只畫結點，權不需要，結點的位置要一模一樣）。

2.按權畫邊。從權值最小的開始，，從4開始，草圖就連A-B，到權值5，就連B-F，到權值6，此時就會發現，如果串連A-F，那麼A-B-F就會構成一個完整的迴路（從任意一點出發可以回到原點。）。因此，就要捨去權值6，即邊A-F不可串連。。。。。依次按權大小畫其他邊。直到最後一個結點。

 

 

Kruskal演算法偽程式形式

void  Kruskal(***) //***表示函數要求的參數

  {  int et=0;           //et用於記錄選中的邊數

   置樹邊集T為空白；

   while(et<n-1)               //n是圖中的頂點數

    { 從G中選出當前最短邊（v，w）；

      if(添此邊於T中，不使產生樹產生迴路)

        { 把（v，w）加進T；et++；}

      else  捨棄（v，w）；

       }

  }

 

實現方法分析：

 

 

 

子樹合并法描述和樣本

 

 

 

描述：

 

 

 

Kruskal演算法的子樹合并法描述形式：

方法一：

void  Kruskal(***) //***表示函數要求的參數

 {  int et=0;

   每個頂點自成一個集合，並指定集合名;

   while(et<n-1)

     { 從G中選出當前最短邊（v，w）;

       找到v所在的集合名i，和w所在的集合名j;

         if(i!=j)

         {  把（v，w）加進T;  et++;

           將集合i與集合j合并成一個集合k;     }

      }

  }

方法二：

void  Kruskal(***) //***表示函數要求的參數

  {  int et=0;          

  每個頂點一個集合，並指定集合名 ;

   while(et<n-1)

    { 從G中選出當前最短邊（v，w）；

      if(v和w不在同一子樹中)

        { 把（v，w）加進T；et++；

        將v所在的子樹與w所在的子樹合并成一棵子樹;

           }

      }

  }

 

結論：無論是按權畫邊法，還是子樹合并法都是可以找出最小產生樹，但是個人認為按權畫邊法比較容易理解。

 

23最小產生樹之Kruskal演算法