拉格朗日插值Python代碼實現

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1. 數學原理

對某個多項式函數有已知的k+1個點，假設任意兩個不同的都互不相同，那麼應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：

　　其中每個lj(x)為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函數），其運算式為：

 

2. 輕量級實現

 利用

直接編寫程式，可以直接插值，並且得到對應的函數值。但是不能得到係數，也不能對其進行各項運算。

def h(x,y,a):    ans=0.0     for i in range(len(y)):        t=y[i]        for j in range(len(y)):            if i !=j:                t*=(a-x[j])/(x[i]-x[j])        ans +=t    return ansx=[1,0]y=[0,2]print(h(x,y,2))

　上述代碼中，h(x,y,a)就是插值函數，直接調用就行。參數說明如下：

• x,y分別是對應點的x值和y值。具體詳解下解釋。
• a為想要取得的函數的值。

事實上，最簡單的拉格朗日插值就是兩點式得到的一條直線。

例如：

p點(1,0)q點(0,2)

這兩個點決定了一條直線，所以當x=2的時候，y應該是-2

該代碼就是利用這兩個點插值，然後a作為x=2調用函數驗證的。

3. 引用庫3.1 庫的安裝

主要依賴與 scipy。官方網站見：https://www.scipy.org/install.html

安裝的方法很簡單，就是使用pip install scipy 如果失敗，則將whl檔案下載到本地再利用命令進行安裝。

可能如果沒有安裝numpy

3.2 庫的使用

from scipy.interplotate import lagrange

直接調用lagrange(x,y)這個函數即可，返回 一個對象。

參數x,y分別是對應各個點的x值和y值。

例如：(1,2) (3,5) (5,9)這三個點，作為函數輸入應該這麼寫：

ｘ＝[1,3,5]

y =[2, 5, 9]

a=lagrange(x,y)

直接輸出該對象，就能看到插值的函數。

利用該對象，能得到很多特性。具體參見：https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.12.0/reference/generated/numpy.poly1d.html

• a.order得到階
• a[]得到係數
• a()得到對應函數值
• 此外可以對其進行加減乘除運算

3.3 代碼實現

from scipy.interpolate import lagrangex=[1,2,3,4,7]y=[5,7,10,3,9]a=lagrange(x,y)print(a)print(a(1),a(2),a(3))print(a[0],a[2],a[3])

結果是：

<class ‘numpy.lib.polynomial.poly1d‘> 4
            4            3              2
0.5472 x - 7.306 x + 30.65 x - 47.03 x + 28.13
5.0 7.0 10.0
28.1333333333 30.6527777778 -7.30555555556

解釋：

<class ‘numpy.lib.polynomial.poly1d‘> 4

這一行是輸出a的類型，以及最高次冪。

              4            3              2
0.5472 x - 7.306 x + 30.65 x - 47.03 x + 28.13

第二行和第三行就是插值的結果，顯示出的函數。

第二行的數字是對應下午的x的冪，如果對應不齊，則是排版問題。

5.0 7.0 10.0

第四行是代入的x值，得到的結果。

也就是說，用小括弧f(x)的這種形式，可以直接得到計算結果。

28.1333333333 30.6527777778 -7.30555555556

最後一行是提取出的係數。也就是說，可以用f[a]這種形式，來提取出來對應冪的係數。

拉格朗日插值Python代碼實現