大整數乘法

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問題

對於兩個很大的整數相乘，比如，兩個數的位元都是1024, c語言表示不了這麼大的數。不過我們可以使用分治法來求它們的乘積。

解決

不失一般性，兩個數A 和 B都是n位，n是2的冪次。如果不滿足這個條件，可以通過補0操作，使它們滿足。

A: 

a1

a2

 

B:

b1

b2

 

則A*B 可以寫為：

A*B = (a1*10^n/2 + a2) * (b1*10^n/2 + b2)
　　= a1*b1*10^n + (a1*b2+a2*b1)*10^n/2 + a2*b2

如果只轉換到這個地步，那這個演算法的時間複雜度還是挺高的

遞推關係式為：T(n) = 4T(n/2) + O(n), 因為分解後，有4個不同的乘法運算

計算後，時間複雜度是 O(n^2)

 

我們還可以繼續最佳化。a1*b1*10^n + (a1*b2+a2*b1)*10^n/2 + a2*b2，這個式子中，a1*b2+a2*b1 可以使用 a1*b1和 a2*b2 來表示。

a1*b2+a2*b1 = (a1-a2)*(b2-b1) + a1*b1 + a2*b2

這樣，A*B 可表示為：

a1*b1*10^n + ((a1-a2)*(b2-b1) + a1*b1 + a2*b2)*10^n/2 + a2*b2

這裡面有3個不同的乘法。加減運算的時間複雜度為 O(n)

遞推關係式為：T(n) = 3T(n/2) + O(n)

時間複雜度為：O(n^log3) = O(n^1.59)

大整數乘法